Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Coordinate Geometry Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Coordinate Geometry      Next in Coordinate Geometry      

Question Number 109483 by ajfour last updated on 24/Aug/20

Commented by ajfour last updated on 24/Aug/20

If the cubic curve has equation,  y=x^3 −21x−20  Find coordinates of P.

$${If}\:{the}\:{cubic}\:{curve}\:{has}\:{equation}, \\ $$$${y}={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21}{x}−\mathrm{20} \\ $$$${Find}\:{coordinates}\:{of}\:{P}. \\ $$

Commented by ajfour last updated on 24/Aug/20

eq. of tangent passing through  (5,0) is simply     y=−(9/4)(x−5)  and that passing through (−4,0)  is         y=−9(x+4)  Thus  P (−7, 27)

$${eq}.\:{of}\:{tangent}\:{passing}\:{through} \\ $$$$\left(\mathrm{5},\mathrm{0}\right)\:{is}\:{simply}\:\:\:\:\:{y}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\left({x}−\mathrm{5}\right) \\ $$$${and}\:{that}\:{passing}\:{through}\:\left(−\mathrm{4},\mathrm{0}\right) \\ $$$${is}\:\:\:\:\:\:\:\:\:{y}=−\mathrm{9}\left({x}+\mathrm{4}\right) \\ $$$${Thus}\:\:{P}\:\left(−\mathrm{7},\:\mathrm{27}\right) \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 25/Aug/20

Let C be the curve denote the graph  of the function y=x^3 −21x−20.Then  the general equation of the tangent  to the curve C at point (x_0 ,y_0 ) is  (d):y=y′(x_0 )(x−x_0 )+y(x_0 )(∗)  Suppose (d_1 ) pass through the point  (5,0) and (d_2 )−(−4,0) then we have   { ((0=(3x_0 ^2 −21)(5−x_0 )+x_0 ^3 −21x_0 −20(1))),((0=(3x_1 ^2 −21)(−4−x_1 )+x_1 ^3 −21x_1 −20(2))) :}  (1)⇔−3x_0 ^3 +15x_0 ^2 +21x_0 −105+x_0 ^3 −21x_0 −20=0  ⇔−2x_0 ^3 +15x_0 ^2 −125=0  ⇔2x_0 ^3 −15x_0 ^2 +125=0⇔(x_0 −5)^2 (2x_0 +5)  ⇔x_0 =((−5)/2)⇒y′(x_0 )=3.(((−5)/2))^2 −21=((−9)/4)  (2)⇔−3x_1 ^3 −12x_1 ^2 +21x_1 +84+x_1 ^3 −21x_1 −20  ⇔2x_1 ^3 +12x_1 ^2 −64=0⇔x_1 ^3 +6x_1 ^2 −32=0  ⇔(x_1 +4)^2 (x_1 −2)=0  ⇔x_1 =2⇒y′(2)=−9  Therefore,we have:  (d_1 ):y=((−9)/4)x+((135)/8)  (d_2 ):y=−9x−54  P=(d_1 )∩(d_2 )⇒the coordinates (x,y)  of P are the roots of the system:   { ((y=((−9x)/4)+((135)/8))),((y=−9x−54)) :}⇔ { ((x=((−21)/2))),(((81)/2)) :}  Thus,we find out P(((−21)/2);((81)/2))

$$\mathrm{Let}\:\mathrm{C}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve}\:\mathrm{denote}\:\mathrm{the}\:\mathrm{graph} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}−\mathrm{20}.\mathrm{Then} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{tangent} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{curve}\:\mathrm{C}\:\mathrm{at}\:\mathrm{point}\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{0}} \right)\:\mathrm{is} \\ $$$$\left(\mathrm{d}\right):\mathrm{y}=\mathrm{y}'\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\left(\mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right)\:\mathrm{pass}\:\mathrm{through}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point} \\ $$$$\left(\mathrm{5},\mathrm{0}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{d}_{\mathrm{2}} \right)−\left(−\mathrm{4},\mathrm{0}\right)\:\mathrm{then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{0}=\left(\mathrm{3x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}\right)\left(\mathrm{5}−\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)+\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}_{\mathrm{0}} −\mathrm{20}\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{0}=\left(\mathrm{3x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}\right)\left(−\mathrm{4}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{20}\left(\mathrm{2}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow−\mathrm{3x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{15x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{21x}_{\mathrm{0}} −\mathrm{105}+\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}_{\mathrm{0}} −\mathrm{20}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{15x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{125}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{15x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{125}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{5}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{y}'\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{3}.\left(\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{21}=\frac{−\mathrm{9}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow−\mathrm{3x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{12x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{21x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{84}+\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{21x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{20} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{64}=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{6x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{32}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}'\left(\mathrm{2}\right)=−\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\left(\mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right):\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\left(\mathrm{d}_{\mathrm{2}} \right):\mathrm{y}=−\mathrm{9x}−\mathrm{54} \\ $$$$\mathrm{P}=\left(\mathrm{d}_{\mathrm{1}} \right)\cap\left(\mathrm{d}_{\mathrm{2}} \right)\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{coordinates}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{P}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{9x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{8}}}\\{\mathrm{y}=−\mathrm{9x}−\mathrm{54}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{21}}{\mathrm{2}}}\\{\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{out}\:\mathrm{P}\left(\frac{−\mathrm{21}}{\mathrm{2}};\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$

Commented by ajfour last updated on 24/Aug/20

Thanks for your method Sir, i  think your finally obtained eqs.  of lines are not correct, please  check..

$${Thanks}\:{for}\:{your}\:{method}\:{Sir},\:{i} \\ $$$${think}\:{your}\:{finally}\:{obtained}\:{eqs}. \\ $$$${of}\:{lines}\:{are}\:{not}\:{correct},\:{please} \\ $$$${check}.. \\ $$

Commented by 1549442205PVT last updated on 25/Aug/20

Thank Sir .I mistaked.After find out  the slops x_0 =−(9/4) need must replace  that value into  (∗)to find free efficient  of the tangent y=−(9/4)x+b  b=−y′(x_0 ).+y(x_0 )=(9/4).(−(5/2))+((135)/8)  =−((45)/8)+((135)/8)=((90)/8)=((45)/4)⇒y=−(9/4)x+((45)/4)  For x_1 =2.we have y=−9x+c  c=−y′(x_1 ).x_1 +y(x_1 )=9.2−54=36  we get y=−9x+36  Sir′s  results are correct

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}\:.\mathrm{I}\:\mathrm{mistaked}.\mathrm{After}\:\mathrm{find}\:\mathrm{out} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{slops}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{need}\:\mathrm{must}\:\mathrm{replace} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{value}\:\mathrm{into}\:\:\left(\ast\right)\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{free}\:\mathrm{efficient} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{y}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}+\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{b}=−\mathrm{y}'\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right).+\mathrm{y}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}.\left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{8}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{4}}\Rightarrow\mathrm{y}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}.\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{y}=−\mathrm{9x}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{c}=−\mathrm{y}'\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right).\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{y}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)=\mathrm{9}.\mathrm{2}−\mathrm{54}=\mathrm{36} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{y}=−\mathrm{9x}+\mathrm{36} \\ $$$$\mathrm{Sir}'\mathrm{s}\:\:\mathrm{results}\:\mathrm{are}\:\mathrm{correct} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com