Question Number 109765 by Karani last updated on 25/Aug/20
$$\left({x}_{{n}} \right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}+\mathrm{10}}{\:\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}},{n}\in{N}\:\mathrm{show}\:\mathrm{if}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{is}\:\mathrm{limited}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Aug/20
$$\mid\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mid\:\leqslant\frac{\mathrm{n}+\mathrm{10}}{\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}>\mathrm{n}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mid\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \mid<\frac{\mathrm{n}+\mathrm{10}}{\mathrm{n}}\:=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{n}}\leqslant\mathrm{11}\:\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{limited} \\ $$