Question Number 109884 by 4635 last updated on 26/Aug/20
Commented by mohammad17 last updated on 26/Aug/20
$$ \\ $$$${set}:\:{y}={ln}^{{n}} {x}\rightarrow{x}={e}^{\frac{{y}}{{n}}} \rightarrow{dx}={e}^{\frac{{y}}{{n}}} \:\:\frac{{dy}}{{n}}\: \\ $$$${x}=\mathrm{1}\rightarrow{y}=\mathrm{0}\:,\:{x}={e}\rightarrow{y}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\:{e}} {ln}^{{n}} {xdx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {y}\:{e}^{\frac{{y}}{{n}}} \:\:\frac{{dy}}{{n}} \\ $$$$ \\ $$$${u}={y}\rightarrow{u}^{'} ={dy}\:,\:{v}^{'} ={e}^{\frac{{y}}{{n}}} \:\:\frac{{dy}}{{n}}\:\rightarrow{v}={e}^{\frac{{y}}{{n}}} \\ $$$$ \\ $$$${ye}^{\frac{{y}}{{n}}} \mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {e}^{\frac{{y}}{{n}}} {dy}\Rightarrow\left({y}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({e}^{\frac{{y}}{{n}}} \right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\left({e}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1}\right)={e}^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} −\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${mohammad}\:{taha}\iddots\ast \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Aug/20
![A_n =∫_1 ^e ln^n xdx we do the changement lnx =t ⇒x =e^t ⇒ A_n =∫_0 ^1 t^n e^t dt =_(by parts) [(t^(n+1) /(n+1))e^t ]_0 ^1 −∫_0 ^1 (t^(n+1) /(n+1)) e^t dt =(e/(n+1))−(1/(n+1)) A_(n+1) ⇒(n+1)A_n =e−A_(n+1) ⇒A_(n+1) =e−(n+1)A_n ⇒A_n =e−nA_(n−1) (n>0) let u_n =(A_n /(n!)) u_(n+1) +u_n =(A_(n+1) /((n+1)!))+(A_n /(n!)) =((e−(n+1)A_n )/((n+1)!))+(A_n /(n!)) =(e/((n+1)!)) ⇒Σ_(k=0) ^n (−1)^k (u_k +u_(k+1) ) =e Σ_(k=0) ^n (((−1)^k )/((k+1)!)) ⇒ u_0 +u_1 −u_1 −u_2 +....+(−1)^(n−1) (u_(n−1) +u_n )+(−1)^n (u_n +u_(n+1) ) =e Σ_(k=0) ^n (((−1)^k )/((k+1)!)) ⇒u_0 +(−1)^n u_(n+1) =eΣ_(k=0) ^n (((−1)^k )/((k+1)!)) ⇒ (−1)^n u_(n+1) =e Σ_(k=0) ^n (((−1)^k )/((k+1)!))−u_0 ⇒ u_(n+1) =e Σ_(k=0) ^n (((−1)^(n+k) )/((k+1)!)) −(−1)^n u_0 =e Σ_(k=1) ^(n+1) (((−1)^(n+k−1) )/(k!))−(−1)^n u_0 ⇒u_n =e Σ_(k=1) ^n (((−1)^(n+k) )/(k!)) +(−1)^(n+1) u_0 ⇒ A_n =n! u_n =n!{ e Σ_(k=1) ^n (((−1)^(n+k) )/(k!)) +(−1)^(n+1) u_0 } (u_0 =A_0 )](Q109972.png)
$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{e}} \:\mathrm{ln}^{\mathrm{n}} \mathrm{xdx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{lnx}\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{by}\:\mathrm{parts}} \:\:\:\:\:\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}−\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{e}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}−\mathrm{nA}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\left(\mathrm{n}>\mathrm{0}\right)\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}+\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}\:\:=\frac{\mathrm{e}−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}+\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{k}} +\mathrm{u}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right)\:=\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{0}} +\mathrm{u}_{\mathrm{1}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} +....+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{e}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!}−\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!}\:−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \:\:=\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}!}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{k}} }{\mathrm{k}!}\:\:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{n}!\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\mathrm{n}!\left\{\:\mathrm{e}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{k}} }{\mathrm{k}!}\:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{0}} \right\}\:\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{0}} =\mathrm{A}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$