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Question Number 110218 by 150505R last updated on 27/Aug/20

Answered by 1549442205PVT last updated on 28/Aug/20

$$\mathrm{Let}\mathrm{ABCD}\mathrm{be}\mathrm{trapezum}\mathrm{with}\mathrm{AB}//\mathrm{CD}$$$$\mathrm{Through}\mathrm{the}\mathrm{vertex}\mathrm{A}\mathrm{draw}\mathrm{a}\mathrm{line}\mathrm{d}$$$$\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{diagonal}\mathrm{BD}\mathrm{we}\mathrm{have}$$$$\mathrm{ABDE}(\mathrm{E}=\mathrm{d}\cap \left[\mathrm{CD}\right))\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{paralelogram}$$$$,\mathrm{so}\mathrm{AB}=\mathrm{DE}.\mathrm{From}\mathrm{the}\mathrm{hypothesis}\mathrm{we}$$$$\mathrm{have}\mathrm{CE}=\mathrm{DE}+\mathrm{CD}=\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{Z}$$$$\mathrm{AE}=\mathrm{BD}=\mathrm{Y},\mathrm{AC}=\mathrm{X}.\mathrm{And}\mathrm{since}$$$${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AB}\times \mathrm{h}}{2}=\frac{\mathrm{DE}\times \mathrm{h}}{2}={\mathrm{S}}_{\mathrm{ADE}}(\mathrm{h}-\mathrm{altitude}$$$$\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{trapezum}),\mathrm{we}\mathrm{infer}{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{ACE}}$$$$\mathrm{But}\mathrm{by}\mathrm{above}\mathrm{results}\mathrm{we}\mathrm{see}\mathrm{that}$$$$\mathrm{\Delta }\mathrm{ACE}\mathrm{has}\mathrm{three}\mathrm{sides}\mathrm{equal}\mathrm{to}$$$$\mathrm{X},\mathrm{Y},\mathrm{Z},\mathrm{so}\mathrm{by}{\mathrm{Heron}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{formula}\mathrm{we}\mathrm{get}$$$${\mathbf{S}}_{\mathbf{ABCD}}={\mathbf{S}}_{\mathbf{ACE}}=\sqrt{\mathbf{p}(\mathbf{p}-\mathbf{X})(\mathbf{p}-\mathbf{Y})(\mathbf{p}-\mathbf{Z})}$$$$\mathbf{where}\mathbf{p}=\frac{\mathbf{X}+\mathbf{Y}+\mathbf{Z}}{2}$$

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