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Question Number 110594 by Aina Samuel Temidayo last updated on 29/Aug/20

A polynomial satisfies f(x^2 −2)=f(x)f(−x). Assuming that f(x)≠0 for −2≤x≤2, what is the value of f(−2)+f(1)?

$$\mathrm{A}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{satisfies} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{f}\left(−\mathrm{x}\right).\:\mathrm{Assuming}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\neq\mathrm{0}\:\mathrm{for}\:−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{2},\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)? \\ $$

Answered by Aziztisffola last updated on 29/Aug/20

f(−2)=(f(0))^2 f(−1)=f(1)f(−1)⇒f(1)=1 (f(−1)≠0) f(2)=f(2)f(−2)⇒f(−2)=1(f(−2)≠0) f(−2)+f(1)=1+1=2

$$\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{1}\left(\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 29/Aug/20

Please I don′t understand. Try explaining everything in details.

$$\mathrm{Please}\:\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand}.\:\mathrm{Try} \\ $$$$\mathrm{explaining}\:\mathrm{everything}\:\mathrm{in}\:\mathrm{details}. \\ $$

Commented by Aziztisffola last updated on 29/Aug/20

x=0 ⇒f(−2)=f(0)f(0)=f^2 (0) x=1⇒f(−1)=f(1)f(−1) ⇒f(1)=((f(−1))/(f(−1)))=1 (f(−1)≠0) x=2⇒f(2)=f(2)f(−2) ⇒f(−2)=((f(2))/(f(2)))=1 (f(−2)≠0) then f(−2)+f(1)=1+1=2

$$\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{x}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\:\mathrm{then}\:\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 03/Sep/20

Thanks.

$$\mathrm{Thanks}. \\ $$

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