Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Algebra Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Algebra      Next in Algebra      

Question Number 110675 by Aina Samuel Temidayo last updated on 30/Aug/20

Two polynomials P and Q satisfy P(−2x+Q(x))=Q(−2x+P(x)). Given that Q(x)=x^2 −4 and P(x)=ax+b. Find 2a+b.

$$\mathrm{Two}\:\mathrm{polynomials}\:\mathrm{P}\:\mathrm{and}\:\mathrm{Q}\:\mathrm{satisfy} \\ $$$$\mathrm{P}\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{Q}\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right). \\ $$$$\mathrm{Given}\:\mathrm{that}\:\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{2a}+\mathrm{b}. \\ $$

Answered by bemath last updated on 30/Aug/20

(1)−2x+Q(x)=x^2 −2x+4 ⇒P(−2x+Q(x))=ax^2 −2ax+4a+b (2)−2x+P(x)=a(x−2)+b ⇒Q(−2x+P(x))={a(x−2)+b}^2 −4 ax^2 −2ax+4a+b=a^2 (x^2 −4x+4)+2a(x−2)+b^2 ax^2 −2ax+4a+b=a^2 x^2 −4a^2 x+4a^2 +2ax−4a+b^2 = a^2 x^2 +(2a−4a^2 )x+4a^2 −4a+b^2 { ((a=a^2 , a=0 or a=1)),((−2a=2a−4a^2 ⇒4a^2 −4a=0)) :} →4a+b=4a^2 −4a+b^2 for a=0→b^2 −b=0,b = 0 or 1 for a=1⇒4+b=b^2 ;b^2 −b−4=0 b = ((1 ±(√(17)))/2)

$$\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{2x}+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{P}\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{4a}+\mathrm{b} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2x}+\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{b} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{Q}\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\left\{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{b}\right\}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{4a}+\mathrm{b}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{4}\right)+\mathrm{2a}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{4a}+\mathrm{b}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ax}−\mathrm{4a}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2a}−\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}+\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{a}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{a}=\mathrm{1}}\\{−\mathrm{2a}=\mathrm{2a}−\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{4a}+\mathrm{b}=\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{a}=\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}=\mathrm{0},\mathrm{b}\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{4}+\mathrm{b}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} ;\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}−\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\:\frac{\mathrm{1}\:\pm\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}} \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 30/Aug/20

Thanks but with the options I have here, the answer should be an integer.

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{but}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{options}\:\mathrm{I}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{here},\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{an}\:\mathrm{integer}. \\ $$

Commented by bemath last updated on 30/Aug/20

what reason the answer should be integer? given di condition?

$$\mathrm{what}\:\mathrm{reason}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{integer}?\:\mathrm{given}\:\mathrm{di}\:\mathrm{condition}? \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 30/Aug/20

I don′t understand

$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand} \\ $$

Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 30/Aug/20

Q(x)=x^2 −4 so why Q(x)−2x=x^2 −2x+4? you also did {a(x−2)+b}^2 −4 wrong

$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\:\mathrm{so}\:\mathrm{why}\:\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{2x}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{4}? \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{also}\:\mathrm{did}\:\left\{\mathrm{a}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{b}\right\}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\:\mathrm{wrong} \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 30/Aug/20

So can you solve it?

$$\mathrm{So}\:\mathrm{can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}? \\ $$

Commented by bemath last updated on 30/Aug/20

why wrong? Q(x)=x^2 −4 then Q(x)−2x=x^2 −4−2x=x^2 −2x−4 clear

$$\mathrm{why}\:\mathrm{wrong}?\:\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\:\mathrm{then}\: \\ $$$$\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{2x}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}−\mathrm{2x}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{clear} \\ $$

Commented by floor(10²Eta[1]) last updated on 30/Aug/20

that is not what you type on the resolution

$$\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{what}\:\mathrm{you}\:\mathrm{type}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{resolution} \\ $$

Answered by Aziztisffola last updated on 30/Aug/20

P(−4)=b=Q(b)=b^2 −4 ⇒b^2 −b−4=0⇒b=((1−^(+) (√(17)))/2) P(−2+(−3))=Q(−2+a+b) =(a+b−2)^2 −4=−5a+6 ⇒a^2 +2ab+b^2 +a−5b=0 solve for a such that b=((1−^(+) (√(17)))/2).

$$\mathrm{P}\left(−\mathrm{4}\right)=\mathrm{b}=\mathrm{Q}\left(\mathrm{b}\right)=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}−\mathrm{4}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}\overset{+} {−}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(−\mathrm{2}+\left(−\mathrm{3}\right)\right)=\mathrm{Q}\left(−\mathrm{2}+\mathrm{a}+\mathrm{b}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}=−\mathrm{5a}+\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ab}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{5b}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{solve}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}\overset{+} {−}\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}. \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com