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Question Number 110741 by mohammad17 last updated on 30/Aug/20

solve: y^(′′) +2y^′ +y=48e^(−x) cos(4x) help me sir

$${solve}:\:{y}^{''} +\mathrm{2}{y}^{'} +{y}=\mathrm{48}{e}^{−{x}} {cos}\left(\mathrm{4}{x}\right) \\ $$$${help}\:{me}\:{sir} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Aug/20

h→r^2 +2r +1=0 ⇒(r+1)^2 =0 ⇒r=−1 ⇒y_h =(ax+b)e^(−x) =axe^(−x) +be^(−x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant (((xe^(−x) e^(−x) )),(((1−x)e^(−x) −e^(−x) )))=−xe^(−2x) +(x−1)e^(−2x) =−e^(−2x) ≠0 W_1 = determinant (((0 e^(−x) )),((48e^(−x) cos(4x) −e^(−x) )))=−48e^(−2x) cos(4x) W_2 = determinant (((xe^(−x) 0)),(((1−x)e^(−x) 48 e^(−x) cos(4x))))=48x e^(−2x) cos(4x) V_1 =∫ (w_1 /w)dx =∫ ((−48 e^(−2x) cos(4x))/(−e^(−2x) ))dx =48 ∫ cos(4x)dx =12sin(4x) V_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((48xe^(−2x) cos(4x))/(−e^(−2x) ))dx =−48 ∫ x cos(4x)dx =−48{ (x/4)sin(4x)−∫ ((sin(4x))/4)dx} =−48{ (x/4)sin(4x)+(1/(16))cos(4x)} =−12x sin(4x)−3cos(4x)⇒ y_h =u_1 v_1 +u_2 v_2 =xe^(−x) (12sin(4x))+e^(−x) {−12x sin(4x)−3cos(4x)} =12x e^(−x) sin(4x)−12xe^(−x) sin(4x)−3e^(−x) cos(4x) =−3e^(−x) cos(4x) ⇒general solution is y =y_h +y_p =(ax+b)e^(−x) −3e^(−x) cos(4x)

$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2r}\:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{axe}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{48e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{48e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{48}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}\end{vmatrix}=\mathrm{48x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{48}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{48}\:\int\:\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{12sin}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{48xe}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx}\:=−\mathrm{48}\:\int\:\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{48}\left\{\:\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\int\:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)}{\mathrm{4}}\mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=−\mathrm{48}\left\{\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right\}\:=−\mathrm{12x}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{3cos}\left(\mathrm{4x}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{12sin}\left(\mathrm{4x}\right)\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{−\mathrm{12x}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{3cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{12x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{12xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)−\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$$$=−\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$

Commented by mohammad17 last updated on 31/Aug/20

thank you sir

$${thank}\:{you}\:{sir} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 31/Aug/20

you are welcome

$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\: \\ $$

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