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Question Number 111105 by bobhans last updated on 02/Sep/20

$${\mathrm{y}}^{″}+{2\mathrm{y}}^{\prime }+\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3$$

Commented by mohammad17 last updated on 02/Sep/20

$$r^2+2r+1=0\Rightarrow {(r+1)}^2=0\Rightarrow r_1=r_2=-1$$$$y_h=c_1{e}^{-x}+c_2{xe}^{-x}$$$$$$$$let:y_{p1}={ae}^{-2x}\Rightarrow y_{p1}^{{}^{\prime }}=-2{ae}^{-2x}\Rightarrow y_{p1}^{{}^{″}}=4{ae}^{-2x}$$$$$$$$(4{ae}^{-2x}-4{ae}^{-2x}+{ae}^{-2x})=e^{-2x}\Rightarrow a=1$$$$$$$$\Rightarrow y_{p1}=e^{-2x}$$$$$$$$let:y_{p2}=\frac{1}{{(1+D)}^2}(2x+3)$$$$$$$$y_{p2}=\{1-2D+3D^2+....\}(2x-3)$$$$$$$$y_{p2}=2x-3-4+0+...$$$$$$$$y_{p2}=2x-7$$$$$$$$y=y_h+y_{p1}+y_{p2}=c_1{e}^{-x}+c_2{xe}^{-x}+e^{-2x}+2x-7$$$$$$$$by⟨mohammad⟩‘‘$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 03/Sep/20

$${\mathrm{y}}^{\left(2\right)}+{2\mathrm{y}}^{\left(1\right)}+\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3$$$$\mathrm{h}\to {\mathrm{r}}^2+2\mathrm{r}+1=0\Rightarrow {(\mathrm{r}+1)}^2=0\Rightarrow \mathrm{r}=-1\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}=(\mathrm{ax}+\mathrm{b}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$$$$={\mathrm{axe}}^{-\mathrm{x}}+{\mathrm{be}}^{-\mathrm{x}}={\mathrm{au}}_1+{\mathrm{bu}}_2$$$$\mathrm{W}({\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2)=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\\ (1-\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\end{array}\right|=-{\mathrm{xe}}^{-2\mathrm{x}}+(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}=-{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\ne 0$$$${\mathrm{W}}_1=\left|\begin{array}{c}0{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\\ {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\end{array}\right|=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3)$$$${\mathrm{W}}_2=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}0\\ (1-\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3\end{array}\right|={\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3)$$$${\mathrm{V}}_1=\int \frac{{\mathrm{W}}_1}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=-\int \frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3)}{-{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3)\mathrm{dx}$$$$=\int ({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+2\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{3\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})\mathrm{dx}=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{3\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+2\int {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{3\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+2\{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\}=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\{1+2\mathrm{x}\}$$$${\mathrm{V}}_2=\int \frac{{\mathrm{W}}_2}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=\int \frac{{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3)}{-{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}}\mathrm{dx}$$$$=-\int {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}({\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}+3)\mathrm{dx}=-\int \mathrm{x}({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+{2\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{3\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})\mathrm{dx}$$$$=-\int \mathrm{x}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int ({2\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$={\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}-\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-\{({2\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\int (4\mathrm{x}+3){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\}$$$$=(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-({2\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\{(4\mathrm{x}+3){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\int {4\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$=(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-({2\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+(4\mathrm{x}+3){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{4\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$$$$=(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-({2\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\Rightarrow$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}={\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2={\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+(2\mathrm{x}+1){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\}$$$$+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\{(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+(-{2\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\}$$$$=-{\mathrm{xe}}^{-2\mathrm{x}}+{2\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}-{2\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-1$$$$=-{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}-1\mathrm{the}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{is}$$$$\mathrm{y}={\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}={\mathrm{axe}}^{-\mathrm{x}}+{\mathrm{be}}^{-\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+2\mathrm{x}-1$$

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