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Question Number 111105 by bobhans last updated on 02/Sep/20

y′′+2y′+y=e^(−2x) +2x+3

$$\mathrm{y}''+\mathrm{2y}'+\mathrm{y}=\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} +\mathrm{2x}+\mathrm{3} \\ $$

Commented by mohammad17 last updated on 02/Sep/20

r^2 +2r+1=0⇒(r+1)^2 =0⇒r_1 =r_2 =−1 y_h =c_1 e^(−x) +c_2 xe^(−x) let:y_(p1) =ae^(−2x) ⇒y_(p1) ^′ =−2ae^(−2x) ⇒y_(p1) ^(′′) =4ae^(−2x) (4ae^(−2x) −4ae^(−2x) +ae^(−2x) )=e^(−2x) ⇒a=1 ⇒y_(p1) =e^(−2x) let:y_(p2) =(1/((1+D)^2 ))(2x+3) y_(p2) ={1−2D+3D^2 +....}(2x−3) y_(p2) =2x−3−4+0+... y_(p2) =2x−7 y=y_h +y_(p1) +y_(p2) =c_1 e^(−x) +c_2 xe^(−x) +e^(−2x) +2x−7 by ⟨mohammad⟩“

$${r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{r}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\left({r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\Rightarrow{r}_{\mathrm{1}} ={r}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1} \\ $$$${y}_{{h}} ={c}_{\mathrm{1}} {e}^{−{x}} +{c}_{\mathrm{2}} {xe}^{−{x}} \\ $$$$ \\ $$$${let}:{y}_{{p}\mathrm{1}} ={ae}^{−\mathrm{2}{x}} \Rightarrow{y}_{{p}\mathrm{1}} ^{'} =−\mathrm{2}{ae}^{−\mathrm{2}{x}} \Rightarrow{y}_{{p}\mathrm{1}} ^{''} =\mathrm{4}{ae}^{−\mathrm{2}{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{4}{ae}^{−\mathrm{2}{x}} −\mathrm{4}{ae}^{−\mathrm{2}{x}} +{ae}^{−\mathrm{2}{x}} \right)={e}^{−\mathrm{2}{x}} \Rightarrow{a}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{y}_{{p}\mathrm{1}} ={e}^{−\mathrm{2}{x}} \\ $$$$ \\ $$$${let}:{y}_{{p}\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{D}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$$${y}_{{p}\mathrm{2}} =\left\{\mathrm{1}−\mathrm{2}{D}+\mathrm{3}{D}^{\mathrm{2}} +....\right\}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$$${y}_{{p}\mathrm{2}} =\mathrm{2}{x}−\mathrm{3}−\mathrm{4}+\mathrm{0}+... \\ $$$$ \\ $$$${y}_{{p}\mathrm{2}} =\mathrm{2}{x}−\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$${y}={y}_{{h}} +{y}_{{p}\mathrm{1}} +{y}_{{p}\mathrm{2}} ={c}_{\mathrm{1}} {e}^{−{x}} +{c}_{\mathrm{2}} {xe}^{−{x}} +{e}^{−\mathrm{2}{x}} +\mathrm{2}{x}−\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$${by}\:\langle{mohammad}\rangle`` \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 03/Sep/20

y^((2)) +2y^((1)) +y =e^(−2x) +2x +3 h→r^2 +2r +1 =0 ⇒(r+1)^2 =0 ⇒r =−1 ⇒y_h =(ax+b)e^(−x) =axe^(−x) +be^(−x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((xe^(−x) e^(−x) )),(((1−x)e^(−x) −e^(−x) )))=−xe^(−2x) +(x−1)e^(−2x) =−e^(−2x) ≠0 W_1 = determinant (((0 e^(−x) )),((e^(−2x) +2x+3 −e^(−x) )))=−e^(−x) (e^(−2x) +2x+3) W_2 = determinant (((xe^(−x) 0)),(((1−x)e^(−x) e^(−2x) +2x+3)))=xe^(−x) (e^(−2x) +2x+3) V_1 =∫ (W_1 /W)dx =−∫ ((e^(−x) (e^(−2x) +2x+3))/(−e^(−2x) )) dx=∫ e^x (e^(−2x) +2x+3)dx =∫ (e^(−x) +2x e^x +3e^x )dx =−e^(−x) +3e^x +2 ∫ xe^x dx =−e^(−x) +3e^x +2{ xe^x −e^x } =−e^(−x) +e^x {1 +2x} V_2 =∫ (W_2 /W)dx =∫ ((xe^(−x) (e^(−2x) +2x+3))/(−e^(−2x) ))dx =−∫ xe^x (e^(−2x) +2x +3)dx =−∫ x( e^(−x) +2xe^x +3e^x )dx =−∫ x e^(−x ) dx −∫ (2x^2 +3x) e^x dx =xe^(−x) −∫ e^(−x) −{ (2x^2 +3x)e^x −∫ (4x+3)e^x } =(x−1)e^(−x) −(2x^2 +3x)e^x +{ (4x+3)e^x −∫ 4e^x dx} =(x−1)e^(−x) −(2x^2 +3x)e^x +(4x+3)e^x −4e^x =(x−1)e^(−x) −(2x^2 −x +1)e^x ⇒ y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =xe^(−x) {−e^(−x) +(2x+1)e^x } +e^(−x) { (x−1)e^(−x) +(−2x^2 +x−1)e^x } =−xe^(−2x) +2x^2 +x +(x−1)e^(−2x) −2x^2 +x−1 =−e^(−2x) +2x−1 the general solution is y =y_h +y_p =axe^(−x) +be^(−x) −e^(−2x) +2x−1

$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:+\mathrm{2y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:+\mathrm{y}\:=\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}\:+\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2r}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{axe}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\:\mathrm{dx}=\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{2x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{2}\left\{\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\}\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left\{\mathrm{1}\:+\mathrm{2x}\right\} \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}{−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=−\int\:\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}\:+\mathrm{3}\right)\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\mathrm{x}\left(\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{2xe}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\:} \:\mathrm{dx}\:−\int\:\:\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} −\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:−\left\{\:\:\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\int\:\:\left(\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\left\{\:\:\left(\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\int\:\mathrm{4e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\left(\mathrm{4x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{4e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{x}\:+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left\{−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\} \\ $$$$+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} +\left(−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\} \\ $$$$=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{2x}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}\:\:+\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\:+\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{axe}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$

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