Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Number Theory Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Number Theory      Next in Number Theory      

Question Number 111503 by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20

Find four values of n satisfying 1≤n≤2000 and 2^n =n^2 (mod 1024)

$$\mathrm{Find}\:\mathrm{four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n}\:\mathrm{satisfying} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2000}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right) \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 04/Sep/20

2^n =n^2 (mod 1024)⇔2^n −n^2 =k.2^(10) ⇔n^2 =2^n −k.2^(10) =2^(10) (2^(n−10) −k)(k∈N^∗ ) ⇔((n/(32)))^2 =2^(n−10) −k.⇒n=32m(m∈N^∗ ) 1<n≤2000⇒32m<2000⇒1≤m≤62 ⇒m^2 =2^(32m−10) −k(1) m=1⇒n=32,k=2^(22) −1 m=2⇒n=64,k=2^(54) −4 m=3⇒n=96,k=2^(86) −9 m=4⇒n=128,k=2^(118) −16 Thus ,we found four values of n satisfying 2^n =n^2 (mod 1024)are n∈{32,64,96,128}

$$\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\Leftrightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{k}.\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{k}.\mathrm{2}^{\mathrm{10}} =\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{k}\in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{32}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}.\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{32m}\left(\mathrm{m}\in\mathbb{N}^{\ast} \right) \\ $$$$\mathrm{1}<\mathrm{n}\leqslant\mathrm{2000}\Rightarrow\mathrm{32m}<\mathrm{2000}\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant\mathrm{m}\leqslant\mathrm{62} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{32m}−\mathrm{10}} −\mathrm{k}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{32},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{22}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{64},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{54}} −\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{96},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{86}} −\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{128},\mathrm{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{118}} −\mathrm{16} \\ $$$$\mathrm{Thus}\:,\mathrm{we}\:\mathrm{found}\:\mathrm{four}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{satisfying}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{mod}\:\mathrm{1024}\right)\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{n}\in\left\{\mathrm{32},\mathrm{64},\mathrm{96},\mathrm{128}\right\} \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 04/Sep/20

Thanks.

$$\mathrm{Thanks}. \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com