Question Number 111762 by mathmax by abdo last updated on 04/Sep/20
$$\mathrm{caoculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2tanx}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Sep/20
![A =∫_0 ^(π/4) ln(1+2tanx)dx let f(a) =∫_0 ^(π/4) ln(1+atanx)dx witha>0 f^′ (a) =∫_0 ^(π/4) ((tanx)/(1+atanx)) dx =_(tanx =t) ∫_0 ^1 (t/((1+at)(1+t^2 ))) dt let decompose u(t) =(t/((at+1)(t^2 +1))) ⇒u(t) =(α/(at +1)) +((βt +λ)/(t^(2 ) +1)) α =((−1)/(a((1/a^2 )+1))) =((−a^2 )/(a(1+a^2 ))) =−(a/(a^2 +1)) lim_(t→+∞) tu(t) =0 =(α/a) +β ⇒β =(1/(a^2 +1)) u(0) =0 =α +λ ⇒λ =(a/(a^2 +1)) ⇒u(t) =−(a/((a^2 +1)(at+1))) +(((t/(a^2 +1))+(a/(a^2 +1)))/(t^2 +1)) ⇒f^′ (a) =−(a/(a^2 +1))∫_0 ^1 (dt/(at +1)) +(1/(a^2 +1))∫_0 ^1 ((t+a)/(t^2 +1)) dt =−(1/(a^2 +1))[ln(at+1)]_0 ^1 +(1/(2(a^2 +1))) ∫_0 ^1 ((2t)/(1+t^2 ))dt +(a/(a^2 +1))[arctant]_0 ^1 =−((ln(a+1))/(a^2 +1))+((ln(2))/(2(a^2 +1))) +((πa)/(4(a^2 +1))) ⇒ f(a)=−∫_0 ^a ((ln(1+x))/(1+x^2 )) dx +((ln2)/2) ∫_0 ^a (dx/(1+x^2 )) +(π/4) ∫_0 ^a (x/(1+x^2 )) dx +c =−∫_0 ^a ((ln(1+x))/(1+x^2 ))dx +((ln2)/2) arctan(a) +(π/8)ln(1+a^2 ) +c c=f(0) =0 and A =f(2) =−∫_0 ^2 ((ln(1+x))/(1+x^2 ))dx+((ln2)/2) arctan2+(π/8)ln5 rest calculus of ∫_0 ^2 ((ln(1+x))/(1+x^2 )) dx....be continued...](Q113335.png)
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2tanx}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{atanx}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{witha}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\mathrm{tanx}}{\mathrm{1}+\mathrm{atanx}}\:\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{tanx}\:=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+{at}\right)\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:{dt}\:{let}\:{decompose} \\ $$$${u}\left({t}\right)\:=\frac{{t}}{\left({at}+\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{u}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\alpha}{\mathrm{at}\:+\mathrm{1}}\:+\frac{\beta\mathrm{t}\:+\lambda}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{1}} \\ $$$$\alpha\:=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{a}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}\:=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tu}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{0}\:=\frac{\alpha}{\mathrm{a}}\:+\beta\:\Rightarrow\beta\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:=\alpha\:+\lambda\:\Rightarrow\lambda\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{u}\left(\mathrm{t}\right)\:=−\frac{\mathrm{a}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{at}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$+\frac{\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{at}\:+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}+\mathrm{a}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{at}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\:+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left[\mathrm{arctant}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:+\mathrm{c} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{a}\right)\:+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{A}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{arctan2}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln5} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{calculus}\:\mathrm{of}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$