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Question Number 111934 by mohammad17 last updated on 05/Sep/20

Answered by Aina Samuel Temidayo last updated on 05/Sep/20

(√(x+5))+(√(2x+1))=4x−10 Squaring both sides,we have x+5+2x+1+2(√((x+5)(2x+1)))=16x^2 +100−80x ⇒ 16x^2 −80x−3x+100−6=2(√((x+5)(2x+1))) ⇒ (16x^2 −83x+94)^2 =(2(√((x+5)(2x+1))))^2 ⇒256x^4 −2656x^3 +9897x^2 −15604x+8836 =4(2x^2 +11x+5) ⇒256x^4 −2656x^3 +9897x^2 −8x^2 −15604x−44x+8836−20=0 ⇒(x−4)(256x^3 −1632x^2 +3361x−2204)=0 ⇒x=4 or 256x^3 −1632x^2 +3361x−2204=0 Factors of 2204: ±1,±2,±19,±29,±38,±58,±76,±116,±551,±1102,±2204. Substituting any of these in 256x^3 −1632x^2 +3361x−2204 won′t give us 0 ⇔ there are no integer solutions to it. ⇒ 4 is the only integer solution. ⇒x=4 x^(x^2 −3x) =4^((4)^2 −3(4)) =4^(16−12) =4^4 =256.

$$\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{4x}−\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{Squaring}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides},\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{5}+\mathrm{2x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{100}−\mathrm{80x} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{80x}−\mathrm{3x}+\mathrm{100}−\mathrm{6}=\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{83x}+\mathrm{94}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{x}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{256x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2656x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9897x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15604x}+\mathrm{8836} \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{11x}+\mathrm{5}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{256x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2656x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9897x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15604x}−\mathrm{44x}+\mathrm{8836}−\mathrm{20}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{256x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1632x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3361x}−\mathrm{2204}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4}\:\mathrm{or} \\ $$$$\mathrm{256x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1632x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3361x}−\mathrm{2204}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2204}: \\ $$$$\pm\mathrm{1},\pm\mathrm{2},\pm\mathrm{19},\pm\mathrm{29},\pm\mathrm{38},\pm\mathrm{58},\pm\mathrm{76},\pm\mathrm{116},\pm\mathrm{551},\pm\mathrm{1102},\pm\mathrm{2204}. \\ $$$$\mathrm{Substituting}\:\mathrm{any}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{256x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1632x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3361x}−\mathrm{2204}\:\mathrm{won}'\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{give}\:\mathrm{us}\:\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{no} \\ $$$$\mathrm{integer}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{to}\:\mathrm{it}. \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{solution}. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}} =\mathrm{4}^{\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{4}\right)} =\mathrm{4}^{\mathrm{16}−\mathrm{12}} =\mathrm{4}^{\mathrm{4}} =\mathrm{256}. \\ $$

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