Question Number 113070 by ZiYangLee last updated on 11/Sep/20
$$\mathrm{If}\:{n}\in\mathbb{Z}^{+} ,\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}+...\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{n}}}<\mathrm{2} \\ $$ $$ \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 11/Sep/20
![We have (1/((n+1)(√n)))=(√n).(1/((n+1)n)) =(√n)((1/n)−(1/(n+1)))=(√n)((1/( (√n)))+(1/( (√(n+1)))))((1/( (√n)))−(1/( (√(n+1))))) =(1+(1/( (√(n+1)))))((1/( (√n)))−(1/( (√(n+1))))) Since (1+(1/( (√(n+1)))))<2,so [(1/((n+1)(√n)))] <2((1/( (√n)))−(1/( (√(n+1))))).Hence,give n=1,2,... we get (1/(2(√1)))=(1/2)<2((1/1)−(1/( (√2)))),(1/(3(√2)))<2((1/( (√2)))−(1/( (√3)))), ...,(1/((n+1)(√n)))<2((1/( (√n)))−(1/( (√(n+1))))) Adding up n above inequalities we get LHS=(1/(2(√1)))+(1/(3(√2)))+(1/(4(√3)))+...(1/((n+1)(√n)))< 2[(1/( (√1)))−(1/( (√2)))+(1/( (√2)))−(1/( (√3)))+...+(1/( (√n)))−(1/( (√(n+1))))) =2(1−(1/( (√(n+1)))))<2 Therefore,we have (1/(2(√1)))+(1/(3(√2)))+(1/(4(√3)))+...(1/((n+1)(√n)))<2(q.e.d)](Q113108.png)
$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}}=\sqrt{\mathrm{n}}.\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}} \\ $$ $$=\sqrt{\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)=\sqrt{\mathrm{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right) \\ $$ $$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right) \\ $$ $$\mathrm{Since}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right)<\mathrm{2},\mathrm{so}\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}}\right] \\ $$ $$<\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right).\mathrm{Hence},\mathrm{give}\:\mathrm{n}=\mathrm{1},\mathrm{2},... \\ $$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right),\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}<\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right), \\ $$ $$...,\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}}<\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right) \\ $$ $$\mathrm{Adding}\:\mathrm{up}\:\mathrm{n}\:\mathrm{above}\:\mathrm{inequalities}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$ $$\mathrm{LHS}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}+...\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{n}}}< \\ $$ $$\mathrm{2}\left[\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right) \\ $$ $$=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right)<\mathrm{2} \\ $$ $$\boldsymbol{\mathrm{Therefore}},\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{have}}\: \\ $$ $$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}+...\frac{\mathrm{1}}{\left(\boldsymbol{{n}}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\boldsymbol{{n}}}}<\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right) \\ $$