Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Algebra Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Algebra      Next in Algebra      

Question Number 113272 by 1549442205PVT last updated on 12/Sep/20

Solve the following equations: a)(x^2 −a)^2 −6x^2 +4x+2a=0 b)x^4 −4x^3 −10x^3 +37x−14=0,if it known that the left−hand side of the equation can be decomposed into factors with integral coefficients.

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{equations}: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2a}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{37x}−\mathrm{14}=\mathrm{0},\mathrm{if}\:\mathrm{it} \\ $$$$\mathrm{known}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{left}−\mathrm{hand}\:\mathrm{side}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{equation}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{decomposed}\:\mathrm{into} \\ $$$$\mathrm{factors}\:\mathrm{with}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{coefficients}. \\ $$

Answered by behi83417@gmail.com last updated on 12/Sep/20

(x^2 −a)^2 −4x^2 −2(x^2 −2x−a)=0 (x^2 −2x−a)(x^2 +2x−a)−2(x^2 −2x−a)=0 ⇒(x^2 −2x−a)(x^2 +2x−a−2)=0 ⇒ { ((x^2 −2x−a=0⇒x=((1±(√(1+a)))/2))),((x^2 +2x−a−2=0⇒x=((−1±(√(a+3)))/2))) :}

$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{a}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{a}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$

Commented by 1549442205PVT last updated on 12/Sep/20

Thank you very much!

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}! \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Sep/20

a)(x^2 −a)^2 −6x^2 +4x+2a=0(∗) ⇔x^4 −2ax^2 +a^2 −6x^2 +4x+2a=0 ⇔a^2 −2(x^2 −1)a+x^4 −6x^2 +4x=0 We look at this like as a quadratic equation with respect to a with the discrimimant Δ′=(x^2 −1)^2 −(x^4 −6x^2 +4x) =4x^2 −4x+1=(2x−1)^2 .Hence, we get a=x^2 −1±(2x−1).From that i)x^2 +2x−2−a=0(1) ii)x^2 −2x−a=0(2) Solving eqns.(1)and (2)with respect to x we ontain:x_(1,2) =1±(√(a+3)) and x_3 ,_4 =1±(√(a+1)) The roots x_(1,2) are real if a∈[−3;+∞) and the roots x_(3,4) are real if a∈[1;+∞) b)We represent the left−hand side of the equation x^4 −4x^3 −10x^3 +37x−14=0 as (x^2 +ax+c)(x^2 +bx+d)=0 ⇔x^4 +(a+b)x^3 +(ab+c+d)x^2 +(bc+ad)x +cd≡x^4 −4x^3 −10x^2 +37x−14.We have a system: { ((a+b=−4)),((ab+c+d=−10)),((bc+ad=37)),((cd=−14)) :} Since a,b,c and d are integers,it follows from the last equation that c=−1,d=14 or c=2,d=−7.The system is completely satisfied by the second pair of values of c and d;for these values we get a=−5 and b=1 for the other coefficients. Solving now the equations x^2 −5x+2=0(1) and x^2 −x−7=0(2) we find the roots of the original equation. x_(1,2) =((5±(√(17)))/2),x_(3,4) =((1±(√(29)))/2).Thus,the given equation has four roots: {((5−(√(17)))/2),((5−(√(17)))/2),((1+(√(29)))/2),((1−(√(29)))/2)}

$$\left.\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2a}=\mathrm{0}\left(\ast\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}+\mathrm{2a}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{a}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{look}\:\mathrm{at}\:\mathrm{this}\:\mathrm{like}\:\mathrm{as}\:\mathrm{a}\:\mathrm{quadratic} \\ $$$$\mathrm{equation}\:\mathrm{with}\:\mathrm{respect}\:\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{discrimimant}\:\Delta'=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}\right) \\ $$$$=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\pm\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right).\mathrm{From}\:\mathrm{that} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Solving}\:\mathrm{eqns}.\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{with}\:\mathrm{respect}\:\mathrm{to}\: \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{we}\:\mathrm{ontain}:\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{3}} ,_{\mathrm{4}} =\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\: \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} \mathrm{are}\:\mathrm{real}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}\in\left[−\mathrm{3};+\infty\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{x}_{\mathrm{3},\mathrm{4}} \mathrm{are}\:\mathrm{real}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}\in\left[\mathrm{1};+\infty\right) \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{We}\:\mathrm{represent}\:\mathrm{the}\:\mathrm{left}−\mathrm{hand}\:\mathrm{side}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{37x}−\mathrm{14}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{as}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ax}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{d}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{bc}+\mathrm{ad}\right)\mathrm{x} \\ $$$$+\mathrm{cd}\equiv\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{37x}−\mathrm{14}.\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{system}: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}=−\mathrm{4}}\\{\mathrm{ab}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=−\mathrm{10}}\\{\mathrm{bc}+\mathrm{ad}=\mathrm{37}}\\{\mathrm{cd}=−\mathrm{14}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{d}\:\mathrm{are}\:\mathrm{integers},\mathrm{it}\:\mathrm{follows} \\ $$$$\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{last}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{that}\:\mathrm{c}=−\mathrm{1},\mathrm{d}=\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{c}=\mathrm{2},\mathrm{d}=−\mathrm{7}.\mathrm{The}\:\mathrm{system}\:\mathrm{is}\:\mathrm{completely} \\ $$$$\mathrm{satisfied}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{second}\:\mathrm{pair}\:\mathrm{of}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\: \\ $$$$\mathrm{c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{d};\mathrm{for}\:\mathrm{these}\:\mathrm{values}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}=−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{coefficients}. \\ $$$$\mathrm{Solving}\:\mathrm{now}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equations} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{7}=\mathrm{0}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{equation}. \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}\pm\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}},\mathrm{x}_{\mathrm{3},\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}.\mathrm{Thus},\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{given}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{has}\:\mathrm{four}\:\mathrm{roots}: \\ $$$$\left\{\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{29}}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com