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Question Number 113464 by bemath last updated on 13/Sep/20

 (x^2  (d^2 y/dx^2 ) +x (dy/dx) + 1).y = 0

$$\:\left({x}^{\mathrm{2}} \:\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }\:+{x}\:\frac{{dy}}{{dx}}\:+\:\mathrm{1}\right).{y}\:=\:\mathrm{0} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Sep/20

y=0 is soluton if y≠0 weget x^2  y^(′′)  +x y^′  +1 =0  let y^′  =z ⇒  x^2 z^′  +xz +1 =0 ⇒z^′  +(1/x)z =−(1/x^2 )   (e)  h→z^′  +(1/x)z =0⇒(z^′ /z)=−(1/x) ⇒ln∣z∣=−ln∣x∣ +c ⇒z =(k/x)  lagrange method→z^′  =(k^′ /x)−(k/x^2 )  (e)⇒(k^′ /x)−(k/x^2 ) +(k/x^2 ) =−(1/x^2 ) ⇒k^′  =−(1/x) ⇒k =−ln(∣x∣)+c ⇒  z =−((ln∣x∣)/x) +(c/x)  y^(′ ) =z ⇒y =∫ z(x)dx =−∫ ((ln∣x∣)/x) dx  +cln∣x∣ +λ

$$\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{is}\:\mathrm{soluton}\:\mathrm{if}\:\mathrm{y}\neq\mathrm{0}\:\mathrm{weget}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{x}\:\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{z}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{'} \:+\mathrm{xz}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{'} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{z}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\left(\mathrm{e}\right) \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{z}\:=\mathrm{0}\Rightarrow\frac{\mathrm{z}^{'} }{\mathrm{z}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{z}\mid=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{z}\:=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:=\frac{\mathrm{k}^{'} }{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{k}^{'} }{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{k}\:=−\mathrm{ln}\left(\mid\mathrm{x}\mid\right)+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}\:=−\frac{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'\:} =\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\int\:\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid}{\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:\:+\mathrm{cln}\mid\mathrm{x}\mid\:+\lambda \\ $$

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