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Question Number 114420 by Aina Samuel Temidayo last updated on 19/Sep/20

Solution of ∣ x−1 ∣≥∣ x−3 ∣ is

$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{of}\:\:\mid\:{x}−\mathrm{1}\:\mid\geqslant\mid\:{x}−\mathrm{3}\:\mid\:\mathrm{is} \\ $$

Commented by bemath last updated on 19/Sep/20

short cut ⇔ (x−1+x−3)(x−1−x+3)≥0 ⇔(2x−4)(2)≥ 0 ⇔ x ≥ 2 ; x∈ [2,∞)

$${short}\:{cut} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{1}+{x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{1}−{x}+\mathrm{3}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{2}\right)\geqslant\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{x}\:\geqslant\:\mathrm{2}\:;\:{x}\in\:\left[\mathrm{2},\infty\right) \\ $$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 19/Sep/20

This is not well explanatory.

$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{well}\:\mathrm{explanatory}. \\ $$

Commented by bemath last updated on 19/Sep/20

no. your just square both sides

$${no}.\:{your}\:{just}\:{square}\:{both}\:{sides} \\ $$

Commented by bobhans last updated on 19/Sep/20

mr bemath creative. santuyy

$${mr}\:{bemath}\:{creative}.\:{santuyy} \\ $$

Answered by Aina Samuel Temidayo last updated on 19/Sep/20

⇒∣x−1∣ −∣x−3∣≥0 CASE I: when x−1≥0 and x−3≥0 x≥1 and x≥3 Finding their intersections ⇒x≥3 ⇒ ∣x−1∣−∣x−3∣≥0 , x≥3 ⇒ x−1−(x−3)≥0 ⇒ x−1−x+3≥0 ⇒ 2≥0 ⇒ x∈R Recall x≥3 ⇒ x≥3 OR CASE II: when x−1<0 and x−3<0 ⇒ x<1 and x<3 Finding their intersections ⇒x<1 ⇒ ∣x−1∣−∣x−3∣≥0 = −(x−1)−(−(x−3))≥0 ⇒ −x+1−(−x+3)≥0 ⇒−x+1+x−3≥0 ⇒−2≥0 ⇒ x∈φ OR Case III: when x−1<0 and x−3≥0 ⇒ x<1 and x≥3 Finding their intersections ⇒ x∈φ OR Case IV: x−1≥0 and x−3<0 ⇒ x≥0 and x<3 Finding their intersections ⇒ x∈ [0,3) ⇒ ∣x−1∣−∣x−3∣≥0 = x−1−(−(x−3))≥0 ⇒ x−1−(−x+3)≥0 ⇒ x−1+x−3≥0 ⇒ 2x≥4 ⇒ x≥2 since x∈[0,3) ⇒x∈[2,3) Combining Cases I,II,III and IV ⇒ x∈ [2,+∞)

$$\Rightarrow\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid\:−\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{CASE}\:\mathrm{I}: \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Finding}\:\mathrm{their}\:\mathrm{intersections} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid\geqslant\mathrm{0}\:,\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}−\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{Recall}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{OR} \\ $$$$\mathrm{CASE}\:\mathrm{II}: \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{3}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}<\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Finding}\:\mathrm{their}\:\mathrm{intersections} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}<\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$=\:−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\left(−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:−\mathrm{x}+\mathrm{1}−\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{x}+\mathrm{1}+\mathrm{x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{2}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\phi \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{OR} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{III}: \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3}\: \\ $$$$\mathrm{Finding}\:\mathrm{their}\:\mathrm{intersections} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\phi \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{OR} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{IV}: \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{3}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}<\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Finding}\:\mathrm{their}\:\mathrm{intersections} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\:\left[\mathrm{0},\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid−\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$=\:\mathrm{x}−\mathrm{1}−\left(−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}−\mathrm{1}−\left(−\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2x}\geqslant\mathrm{4} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\in\left[\mathrm{2},\mathrm{3}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Combining}\:\mathrm{Cases}\:\mathrm{I},\mathrm{II},\mathrm{III}\:\mathrm{and}\:\mathrm{IV} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\in\:\:\left[\mathrm{2},+\infty\right) \\ $$

Commented by bemath last updated on 19/Sep/20

your answer very long like a road

$${your}\:{answer}\:{very}\:{long}\:{like}\:{a}\:{road}\: \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 19/Sep/20

Solve the inequality ∣x−1∣≥∣x−3∣(1) Since x−1≥0⇔x≥1,x−3≥0⇔x≥3 We have the following tablet: determinant ((x,,1,,3,),((∣x−1∣),(1−x),0,(x−1),2,(x−1)),((∣x−3∣),(3−x),2,(3−x),0,(x−3))) From above tablet we have i)If x≤1 then (1)⇔1−x≥3−x⇔1≥3⇒has no roots ii)If 1<x≤3 then (1)⇔x−1≥3−x⇔2x≥4⇔x≥2 we have the roots are 2≤x≤3 iii)If x>3 then (1)⇔x−1≥x−3 ⇔0.x≥−2 ⇒∀x>3 satisfy Combining three cases we get the roots of given inequality are x∈[2;+∞)

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequality}\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid\geqslant\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\mathrm{Since}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{1},\mathrm{x}−\mathrm{3}\geqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{tablet}: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{x}}&{}&{\mathrm{1}}&{}&{\mathrm{3}}&{}\\{\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid}&{\mathrm{1}−\mathrm{x}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{x}−\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\\{\mid\mathrm{x}−\mathrm{3}\mid}&{\mathrm{3}−\mathrm{x}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}−\mathrm{x}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\end{vmatrix} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{above}\:\mathrm{tablet}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}\:\mathrm{then} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{1}−\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3}−\mathrm{x}\Leftrightarrow\mathrm{1}\geqslant\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{1}<\mathrm{x}\leqslant\mathrm{3}\:\mathrm{then}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{3}−\mathrm{x}\Leftrightarrow\mathrm{2x}\geqslant\mathrm{4}\Leftrightarrow\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{x}>\mathrm{3}\:\mathrm{then}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}\geqslant\mathrm{x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{0}.\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{2}\:\Rightarrow\forall\mathrm{x}>\mathrm{3}\:\mathrm{satisfy}\: \\ $$$$\mathrm{Combining}\:\mathrm{three}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{x}\in\left[\mathrm{2};+\infty\right) \\ $$

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