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Question Number 114768 by ZiYangLee last updated on 21/Sep/20

Solve for ∣x−2∣+∣1−x∣=4

$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{for}\:\mid{x}−\mathrm{2}\mid+\mid\mathrm{1}−{x}\mid=\mathrm{4} \\ $$

Answered by bobhans last updated on 21/Sep/20

(1) x<1 ⇒ 2−x+1−x=4 3−2x = 4 ; x=−(1/2) (2) 1≤x<2⇒2−x+x−1=4 1=4 ←no solution (3)x≥2 ⇒x−2+x−1=4 2x = 7; x=(7/2) ∴ x = −(1/2) or x = (7/2)

$$\left(\mathrm{1}\right)\:{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}−{x}+\mathrm{1}−{x}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{4}\:;\:{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{1}\leqslant{x}<\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{2}−{x}+{x}−\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}=\mathrm{4}\:\leftarrow{no}\:{solution} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right){x}\geqslant\mathrm{2}\:\Rightarrow{x}−\mathrm{2}+{x}−\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{7};\:{x}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\therefore\:{x}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{or}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Sep/20

⇒f(x)=∣x−2∣+∣1−x∣−4 =0 x −∞ 1 2 +∞ ∣x−2∣ −x+2 −x+2 x−2 ∣x−1∣ −x+1 x−1 x−1 f(x) −2x−1 −3 2x−7 ⇒f(x) = { ((−2x−1 if x≤1)),((−3 if 1≤x≤2 )) :} { 2x−7 if x≥2 so x≤1 we get f(x)=0 ⇒−2x−1 =0 ⇒x =−(1/2) 1≤x≤2 f(x)=0 ⇒−3 =0 imposdible x≥2 f(x)=0 ⇒2x−7 =0 ⇒x =(7/2)

$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\mid+\mid\mathrm{1}−\mathrm{x}\mid−\mathrm{4}\:=\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{2} \\ $$$$\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\begin{cases}{−\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:\mathrm{if}\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}}\\{−\mathrm{3}\:\:\:\mathrm{if}\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{2}\:\:\:\:\:}\end{cases} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{\:\mathrm{2x}−\mathrm{7}\:\:\mathrm{if}\:\:\:\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2}\right. \\ $$$$\mathrm{so}\:\:\:\:\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{2x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\mathrm{2}\:\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{3}\:=\mathrm{0}\:\mathrm{imposdible} \\ $$$$\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{2x}−\mathrm{7}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$

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