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Question Number 115301 by mathdave last updated on 24/Sep/20

if jx^2 +2kxy+by^2 =1 show that (kx+by)^3 (d^2 y/dx^2 )=k^2 −jb

$${if}\: \\ $$$${jx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{kxy}+{by}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:{show}\:{that} \\ $$$$\left({kx}+{by}\right)^{\mathrm{3}} \frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}} }={k}^{\mathrm{2}} −{jb} \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 25/Sep/20

jx^2 +2kxy+by^2 =1⇔by^2 +2kxy+jx^2 −1=0 Δ′=k^2 x^2 −jbx^2 +b y=((−kx±(√(k^2 x^2 −jbx^2 +b)))/b)(1) y′=(−k±(((k^2 −jb)x)/( (√(k^2 x^2 −jbx^2 +b)))))/b y′′=±((((k^2 −jb)(√(k^2 x^2 −jbx^2 +b))−(k^2 −jb)x.(((k^2 −jb)x)/( (√(k^2 x^2 −jbx^2 +b)))))/(k^2 x^2 −jbx^2 +b)))/b =±((((k^2 −jb)(k^2 x^2 −jbx^2 +b)−(k^2 −jb)^2 x^2 )/(b(k^2 x^2 −jbx^2 +b)(√(k^2 x^2 −jbx^2 +b)))) ) =±((((k^2 −jb))/((k^2 x^2 −jbx^2 +b)(√(k^2 x^2 −jbx^2 +b)))))(2) From(1)we have kx+by=±(√(k^2 x^2 −jbx^2 +b)) ⇒(kx+by)^3 =(k^2 x^2 −jbx^2 +b)(√(k^2 x^2 −jbx^2 +b))(3) Replace (3) into (2)we get (kx+by)^3 y”=k^2 −jb (Q.E.D)

$${jx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{kxy}+{by}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{by}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2kxy}+\mathrm{jx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta'=\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{kx}\pm\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}}{\mathrm{b}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{y}'=\left(−\mathrm{k}\pm\frac{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}}\right)/\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{y}''=\pm\left(\frac{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}−\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)\mathrm{x}.\frac{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}\right)/\mathrm{b} \\ $$$$=\pm\left(\frac{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\right)−\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{b}\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\right)\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}}\:\right)\:\: \\ $$$$=\pm\left(\frac{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\right)}{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\right)\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}}\right)\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{kx}+\mathrm{by}=\pm\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\right)\sqrt{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jbx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{Replace}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{kx}}+\boldsymbol{\mathrm{by}}\right)^{\mathrm{3}} \boldsymbol{\mathrm{y}}''=\boldsymbol{\mathrm{k}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{jb}}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{Q}}.\boldsymbol{\mathrm{E}}.\boldsymbol{\mathrm{D}}\right)\: \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 25/Sep/20

jx^2 +2kxy+by^2 =1 2jx+2ky+2kx(dy/dx)+2by(dy/dx)=0⇒(dy/dx)=−((jx+ky)/(kx+by)) 2j+2k.(dy/dx)+2kx(d^2 y/dx^2 )+2k.(dy/dx)+2by(d^2 y/dx^2 )+2b((dy/dx))^2 =0 j+2k(dy/dx)+(d^2 y/dx^2 )(kx+by)+b((dy/dx))^2 =0 (d^2 y/dx^2 )(kx+by)=−b((dy/dx))^2 +2k.((jx+ky)/(kx+by))−j (d^2 y/dx^2 )(kx+by)=−b(((jx+ky)/(kx+by)))^2 +2k((jx+ky)/(kx+by))−j (d^2 y/dx^2 )(kx+by)^3 =−b(jx+ky)^2 +2k(jx+ky)(kx+by)−j(kx+by)^2 (d^2 y/dx^2 )(kx+by)^3 =k^2 −jb (After simplifying)

$$\mathrm{jx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2kxy}+\mathrm{by}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2jx}+\mathrm{2ky}+\mathrm{2kx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{2by}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{0}\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=−\frac{\mathrm{jx}+\mathrm{ky}}{\mathrm{kx}+\mathrm{by}} \\ $$$$\mathrm{2j}+\mathrm{2k}.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{2kx}\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2k}.\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{2by}\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2b}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{j}+\mathrm{2k}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)+\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)=−\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}.\frac{\mathrm{jx}+\mathrm{ky}}{\mathrm{kx}+\mathrm{by}}−\mathrm{j} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)=−\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{jx}+\mathrm{ky}}{\mathrm{kx}+\mathrm{by}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}\frac{\mathrm{jx}+\mathrm{ky}}{\mathrm{kx}+\mathrm{by}}−\mathrm{j} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)^{\mathrm{3}} =−\mathrm{b}\left(\mathrm{jx}+\mathrm{ky}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}\left(\mathrm{jx}+\mathrm{ky}\right)\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)−\mathrm{j}\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{kx}+\mathrm{by}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{jb}\:\left(\mathrm{After}\:\mathrm{simplifying}\right) \\ $$$$ \\ $$

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