Question Number 115341 by bemath last updated on 25/Sep/20
$${If}\:\mathrm{log}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{1}°+\mathrm{log}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{2}°+\mathrm{log}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{3}°+...+\mathrm{log}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{89}°={p} \\ $$$${then}\:{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:=\: \\ $$
Answered by bobhans last updated on 25/Sep/20
$$\Rightarrow\mathrm{log}\:\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{1}°×\mathrm{tan}\:\mathrm{2}°×\mathrm{tan}\:\mathrm{3}°×...×\mathrm{tan}\:\mathrm{89}°\right)={p} \\ $$$${consider}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{89}°×\mathrm{tan}\:\mathrm{1}°=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{88}°×\mathrm{tan}\:\mathrm{2}°=\mathrm{1}\:,\:{so}\:{on}\:.\:{we}\:{get}\: \\ $$$$\mathrm{log}\:\left(\mathrm{1}×\mathrm{1}×\mathrm{1}×\mathrm{1}×...×\mathrm{1}\right)\:=\:{p} \\ $$$$\Rightarrow{p}\:=\:\mathrm{0}\:{then}\:{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:=\:\mathrm{3} \\ $$