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Question Number 115689 by Algoritm last updated on 27/Sep/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Sep/20

I =∫_0 ^1 ((ln(x+(√(1−x^2 ))))/x)dx changement x =sint give I =∫_0 ^(π/2) ((ln(sint +cost))/(sint))cost dt =∫_0 ^(π/2) ((ln(cost +sint))/(sint)).cost dt f(a) =∫_0 ^(π/2) ((ln(cost +asint))/(sint)).cost dt with a>0 f^′ (a) =∫_0 ^(π/2) ((cost)/((cost +asint)))dt =_(tan((t/2))=u) ∫_0 ^1 (((1−u^2 )/(1+u^2 ))/(((1−u^2 )/(1+u^2 )) +((2au)/(1+u^2 ))))×((2du)/(1+u^2 )) =2∫_0 ^1 ((1−u^2 )/((1+u^2 )(1−u^2 +2au)))du =2∫_0 ^1 ((u^2 −1)/((u^2 +1)(u^2 −2au −1)))du let decompose F(u) =((u^2 −1)/((u^2 +1)(u^2 −2au−1))) Δ^′ =a^2 +1>0 ⇒u_1 =a+(√(1+a^2 )) and u_2 =a−(√(1+a^2 )) ⇒F(u) =((u^2 −1)/((u−u_1 )(u−u_2 )(u^2 +1))) =(α/(u−u_1 )) +(β/(u−u_2 )) +((mu +n)/(u^2 +1)) α =((u_1 ^2 −1)/(2(√(1+a^2 ))(u_1 ^2 +1))) =((a^2 +2a(√(1+a^2 ))+1+a^2 −1)/(2(√(1+a^2 ))(a^2 +2a(√(1+a^2 ))+1+a^2 +1))) =((2a^2 +2a(√(1+a^2 )))/(2(√(1+a^2 ))(2a^2 +2a(√(1+a^2 )) +2))) =((a^2 +a(√(1+a^2 )))/(2(√(1+a^2 ))(a^2 +a(√(1+a^2 ))+1))) β =((u_2 ^2 −1)/(−2(√(1+a^2 ))(u_2 ^2 +1))) =((a^2 −2a(√(1+a^2 )) +1+a^2 −1)/(−2(√(1+a^2 ))(a^2 −2a(√(1+a^2 ))+1+a^2 +1))) =((2a^2 −2a(√(1+a^2 )))/(−2(√(1+a^2 ))(2a^2 −2a(√(1+a^2 ))+2))) =((a(√(1+a^2 ))−a^2 )/(2(√(1+a^2 ))(a^2 −a(√(1+a^2 ))+1))) lim_(u→+∞) uF(u) =0 =α+β +m ⇒m =−α−β F(0) =((−1)/((−1)))=1 =−(α/u_1 )−(β/u_2 ) +n ⇒n =1+(α/u_1 ) +(β/u_2 ) ⇒ f^′ (a) =2α∫_0 ^1 (du/(u−u_1 )) +2β ∫_0 ^1 (du/(u−u_2 )) +m ln(u^2 +1)+2n arctan(u) =2αln∣u−u_1 ∣ +2β ln∣u−u_2 ∣+mln(u^2 +1) +2narctan(u) +c ⇒ f(a) =2 ∫ αln∣u−u_1 ∣da +2∫ βln∣u−u_2 ∣da +∫ mln(u^2 +1)da +2 ∫ narctan(u)da +ca +λ α =α(a) ,β=β(a),m=m(a),n =n(a)....be continued ..a lots of calculus...

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{sint}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{sint}\:+\mathrm{cost}\right)}{\mathrm{sint}}\mathrm{cost}\:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{sint}\right)}{\mathrm{sint}}.\mathrm{cost}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{asint}\right)}{\mathrm{sint}}.\mathrm{cost}\:\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{with}\:\:\mathrm{a}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{cost}}{\left(\mathrm{cost}\:+\mathrm{asint}\right)}\mathrm{dt}\:\:=_{\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{u}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{2au}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }}×\frac{\mathrm{2du}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2au}\right)}\mathrm{du}\:=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2au}\:−\mathrm{1}\right)}\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2au}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\alpha}{\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\beta}{\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{mu}\:+\mathrm{n}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\alpha\:=\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{2}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\beta\:=\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{u}\rightarrow+\infty} \mathrm{uF}\left(\mathrm{u}\right)\:=\mathrm{0}\:=\alpha+\beta\:+\mathrm{m}\:\Rightarrow\mathrm{m}\:=−\alpha−\beta \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{1}\:=−\frac{\alpha}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }−\frac{\beta}{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{n}\:=\mathrm{1}+\frac{\alpha}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\beta}{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{2}\alpha\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\:+\mathrm{2}\beta\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{m}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2n}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{u}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\alpha\mathrm{ln}\mid\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mid\:+\mathrm{2}\beta\:\mathrm{ln}\mid\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mid+\mathrm{mln}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{2narctan}\left(\mathrm{u}\right)\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\mathrm{2}\:\int\:\alpha\mathrm{ln}\mid\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mid\mathrm{da}\:+\mathrm{2}\int\:\beta\mathrm{ln}\mid\mathrm{u}−\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mid\mathrm{da}\:+\int\:\mathrm{mln}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{da} \\ $$$$+\mathrm{2}\:\int\:\mathrm{narctan}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{da}\:+\mathrm{ca}\:+\lambda \\ $$$$\alpha\:=\alpha\left(\mathrm{a}\right)\:\:,\beta=\beta\left(\mathrm{a}\right),\mathrm{m}=\mathrm{m}\left(\mathrm{a}\right),\mathrm{n}\:=\mathrm{n}\left(\mathrm{a}\right)....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}\:..\mathrm{a}\:\mathrm{lots}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{calculus}... \\ $$

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