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Question Number 115771 by bemath last updated on 28/Sep/20

y′′−y′−2y=e^(2x) .cos^2 x

$${y}''−{y}'−\mathrm{2}{y}={e}^{\mathrm{2}{x}} .\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x} \\ $$

Answered by TANMAY PANACEA last updated on 28/Sep/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Sep/20

h→r^2 −r−2=0 →Δ =1−4(−2) =9 ⇒r_1 =((1+3)/2)=2 and r_2 =((1−3)/2)=−1 ⇒y_h =ae^(2x) +be^(−x) =au_1 +bu_2 W(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^(2x) e^(−x) )),((2e^(2x) −e^(−x) )))=−e^x −2e^x =−3e^x ≠0 W_1 = determinant (((o e^(−x) )),((e^(2x) cos^2 x −e^(−x) )))=−e^x cos^2 x W_2 = determinant (((e^(2x) 0)),((2e^(2x) e^(2x) cos^2 x)))=e^(4x) cos^2 x v_1 =∫ (w_1 /w)dx =−∫ ((e^x cos^2 x)/(−3e^x )) =(1/3)∫ ((1+cos(2x))/2)dx =(1/6)x +(1/(12))sin(2x) v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((e^(4x) cos^2 x)/(−3e^x )) dx =−(1/3)∫ e^(3x) (((1+cos(2x))/2))dx =−(1/6) ∫e^(3x) dx −(1/6)∫ e^(3x ) cos(2x)dx but =−(1/(18))e^(3x) −(1/6)Re(∫ e^((3+2i)x) dx) ∫ e^((3+2i)x) dx =(1/(3+2i)) e^((3+2i)x) =((3−2i)/(13)) e^(3x) (cos(2x)+isin(2x)) =(e^(3x) /(13)){ 3cos(2x)+3isin(2x)−2i cos(2x) +2sin(2x)} ⇒ Re(....) =(e^(3x) /(13))( 3cos(2x)+2sin(2x)) ⇒ y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =e^(2x) ((x/6)+(1/(12))sin(2x))+(e^(2x) /(13))(3cos(2x)+2sin(2x)) the general solution is y =y_h +y_p

$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta\:=\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(−\mathrm{2}\right)\:=\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{2x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \:=−\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{−\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{−\mathrm{3e}^{\mathrm{x}} }\:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\int\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:\mathrm{dx}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}\:} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{but}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{18}}\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{Re}\left(\int\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int\:\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{2i}}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \:=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2i}}{\mathrm{13}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{13}}\left\{\:\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{3isin}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2i}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Re}\left(....\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{13}}\left(\:\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{13}}\left(\mathrm{3cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$

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