Question Number 115927 by mathmax by abdo last updated on 29/Sep/20
$$\mathrm{calculate}\:\:\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 29/Sep/20
![(2/(4x^2 −1))=(1/(2x−1))−(1/(2x+1)).Put (1/(2x−1))=a, (1/(2x+1))=b⇒2ab=a−b (1/((4x^2 −1)^3 ))=(1/8)((2/(4x^2 −1)))^3 =(1/8)(a−b)^3 =(1/8)[a^3 −b^3 −3ab(a−b)]=(1/8)[a^3 −b^3 −(3/2)(a−b)^2 ] (1/8)[a^3 −b^3 −(3/2)a^2 −(3/2)b^2 +(3/2)(a−b)] =(1/8)a^3 −(1/8)b^3 −(3/(16))a^2 −(3/(16))b^2 +(3/(16))a−(3/(16))b I=∫_1 ^(+∞) (dx/((4x^2 −1)^3 )) =∫_1 ^∞ ((1/(8(2x−1)^3 ))−(1/(8(2x+1)^3 ))−(3/(16(2x−1)^2 ))−(3/(16(2x+1)^2 ))+(3/(16(2x−1)))−(3/(16(2x+1))))dx =(1/(16))∫_1 ^∞ ((d(2x−1))/((2x−1)^3 ))−(1/(16))∫_1 ^∞ ((d(2x+1))/((2x+1)^3 )) −(3/(32))∫_1 ^∞ ((d(2x−1))/((2x−1)^2 ))−(3/(32))∫_1 ^∞ ((d(2x+1))/((2x+1)^2 )) +(3/(32))∫((d(2x−1))/((2x−1)))−(3/(32))∫_1 ^∞ ((d(2x+1))/((2x+1))) ={((−1)/(32(2x−1)^2 ))+(1/(32(2x+1)^2 ))+(3/(32(2x−1)))+(3/(32(2x+1)))+(3/(32))ln∣((2x−1)/(2x+1))∣}_1 ^∞ =(1/(32))−(1/(288))−(3/(32))−(1/(32))−(3/(32))ln((1/3))=((−7)/(72))+(3/(32))ln3](Q115939.png)
$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}.\mathrm{Put}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}=\mathrm{a}, \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{b}\Rightarrow\mathrm{2ab}=\mathrm{a}−\mathrm{b} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3ab}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{b}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{a}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left\{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\mid\right\}_{\mathrm{1}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{288}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)=\frac{−\mathrm{7}}{\mathrm{72}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\mathrm{ln3} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Sep/20
![I =∫_1 ^(+∞) (dx/((4x^2 −1)^3 )) ⇒ I =∫_1 ^∞ (dx/((2x−1)^3 (2x+1)^3 )) =∫_1 ^∞ (dx/((((2x−1)/(2x+1)))^3 (2x+1)^6 )) we do the changement ((2x−1)/(2x+1))=t ⇒ 2x−1=2tx+t ⇒(2−2t)x =t+1 ⇒ x =((t+1)/(2−2t)) ⇒ (dx/dt) =((2−2t−(−2)(t+1))/((2−2t)^2 )) =(1/(4(1−t)^2 )) and 2x+1 =((2t+2)/(2−2t)) +1 =((2t+2+2−2t)/(2−2t)) =(4/(2−2t)) =(2/(1−t)) ⇒ I =∫_(1/3) ^1 (1/(t^3 ((2/(1−t)))^6 ))×(dt/(4(1−t)^2 )) =(1/4)∫_(1/3) ^1 (((t−1)^6 )/(2^6 .t^3 .(t−1)^2 ))dt =(1/2^8 ) ∫_(1/3) ^1 (((t−1)^4 )/t^3 )dt ⇒2^8 .I =∫_(1/3) ^1 ((Σ_(k=0) ^4 C_4 ^k t^k (−1)^(4−k) )/t^3 )dt =Σ_(k=0) ^4 (−1)^k C_4 ^k ∫_(1/3) ^1 t^(k−3) dt =Σ_(k=0and k≠2) ^4 (−1)^k C_4 ^k [(1/(k−2))t^(k−2) ]_(1/3) ^1 +C_4 ^2 [lnt]_(1/3) ^1 ⇒ I =(1/2^8 )(Σ_(k=0 and k≠2) ^4 (((−1)^k C_4 ^k )/(k−2))(1−(1/3^(k−2) )) +C_4 ^2 ln(3))](Q115975.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2x}−\mathrm{1}=\mathrm{2tx}+\mathrm{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{2}−\mathrm{2t}\right)\mathrm{x}\:=\mathrm{t}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}−\mathrm{2t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\:=\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2t}−\left(−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{2t}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{and}\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}−\mathrm{2t}}\:+\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{2}+\mathrm{2}−\mathrm{2t}}{\mathrm{2}−\mathrm{2t}}\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}−\mathrm{2t}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{6}} }×\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{6}} \:.\mathrm{t}^{\mathrm{3}} .\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} }\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dt}\:\:\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \:.\mathrm{I}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}−\mathrm{k}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{k}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{3}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{k}} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{lnt}\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{8}} }\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} }\right)\:+\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)\right) \\ $$