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Question Number 116059 by Study last updated on 30/Sep/20

Σ_(n=1) ^∞ ((n!)/3^(n+1) )

$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{n}!}{\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$

Answered by MWSuSon last updated on 30/Sep/20

Do you want to test for convergence?

$$\mathrm{Do}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want}\:\mathrm{to}\:\mathrm{test}\:\mathrm{for}\:\mathrm{convergence}? \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Sep/20

let s(x) =Σ_(n=1) ^∞ n! x^(n+1) ⇒s^′ (x) =Σ_(n=1) ^∞ (n+1)! x^n =Σ_(n=2) ^∞ n! x^(n−1) =(1/x^2 )Σ_(n=2) ^∞ n! x^(n+1) =(1/x^2 ){Σ_(n=1) ^∞ n! x^(n+1) −x^2 }=(1/x^2 )s(x)−1 ⇒ s^′ (x) =((s(x))/x^2 )−1 ⇒x^2 s^′ (x) =s(x)−x^2 ⇒x^2 s^′ (x)−s(x)+x^2 =0 (∣x∣<1) let solve x^2 y^′ −y =−x^2 h→x^2 y^′ =y ⇒(y^′ /y) =(1/x^2 ) ⇒ln∣y∣ =−(1/x) +c ⇒y =k e^(−(1/x)) lagrange method →y^′ =k^′ e^(−(1/x)) +k((1/x^2 ))e^(−(1/x)) e⇒x^2 k^′ e^(−(1/x)) +k e^(−(1/x)) −ke^(−(1/x)) =−x^2 ⇒k^′ e^(−(1/x)) =−1 ⇒ k^′ =−e^(1/x) ⇒k(x) =−∫_x ^1 e^(1/x) dx+c ⇒ s(x) =e^(−(1/x)) { c−∫_x ^1 e^(1/x) dx } ⇒s((1/3)) =e^(−(1/3)) {c−∫_(1/3) ^1 e^(1/x) dx} ....be continued...

$$\mathrm{let}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}!\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{s}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}!\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}!\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left\{\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}!\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right\}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{s}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{'} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\:\:\left(\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{'} −\mathrm{y}\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{y}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \\ $$$$\mathrm{lagrange}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\:+\mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:+\mathrm{k}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} −\mathrm{ke}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \:\Rightarrow\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\int_{\mathrm{x}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \left\{\:\mathrm{c}−\int_{\mathrm{x}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}\:\right\}\:\Rightarrow\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \left\{\mathrm{c}−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

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