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Question Number 116061 by MWSuSon last updated on 30/Sep/20

$$\mathrm{Kent}\mathrm{Mark}\mathrm{is}\mathrm{running}\mathrm{for}\mathrm{class}\mathrm{president}.$$$$\mathrm{Assume}\mathrm{that}\mathrm{there}\mathrm{are}\mathrm{a}\mathrm{total}\mathrm{of}\mathrm{n}\mathrm{ca}-$$$$\mathrm{ndidates}\mathrm{running},\mathrm{where}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natu}-$$$$\mathrm{ral}\mathrm{number}.$$$$\mathrm{After}\mathrm{the}\mathrm{votes}\mathrm{are}\mathrm{tallied},\mathrm{Kent}\mathrm{Mark}$$$$\mathrm{is}\mathrm{told}\mathrm{only}\mathrm{the}\mathrm{fraction}\mathrm{of}\mathrm{votes}\mathrm{that}\mathrm{he}$$$$\mathrm{recieved}.$$$$\mathrm{Suppose}\mathrm{he}\mathrm{recieved}\mathrm{less}\mathrm{than}\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{votes}.\mathrm{Show}\mathrm{that}\mathrm{he}\mathrm{cannot}\mathrm{have}\mathrm{won}$$$$\mathrm{the}\mathrm{election}.$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 01/Oct/20

$$\mathrm{We}\mathrm{assume}\mathrm{that}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{votes}$$$$\mathrm{in}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{election}\mathrm{be}\mathrm{S}$$$$\mathrm{Suppose}\mathrm{Kent}\mathrm{Mark}\mathrm{win}\mathrm{the}\mathrm{election}$$$$\mathrm{then}\mathrm{all}\mathrm{other}\mathrm{candidates},\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{them}$$$$\mathrm{gets}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{votes}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{fraction}\mathrm{less}$$$$\mathrm{than}\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{that}\mathrm{means}\mathrm{he}\mathrm{received}\mathrm{less}$$$$\mathrm{than}\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{S}\mathrm{votes}.\mathrm{Hence},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{votes}$$$$\mathrm{in}\mathrm{that}\mathrm{election}\mathrm{less}\tan \mathrm{n}.\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{S}=\mathrm{S}$$$$\mathrm{This}\mathrm{contradiction}\mathrm{shows}\mathrm{that}$$$$\mathrm{Kent}\mathrm{Mark}\mathrm{cannot}\mathrm{have}\mathrm{won}\mathrm{in}$$$$\mathrm{that}\mathrm{election}(\mathbf{Q}.\mathbf{E}.\mathbf{D})$$

Commented by MWSuSon last updated on 03/Oct/20

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{sir}.$$

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