Question Number 116093 by Engr_Jidda last updated on 30/Sep/20
$${Find}\:{the}\:{equation}\:{of}\:{a}\:{circle}\:{which}\:{touches} \\ $$$${x}−{axis}\:{and}\:{the}\:{line}\:{y}={x}\:{in}\:{the}\:\mathrm{1}^{{st}} \:{quadrant}. \\ $$$${Determine}\:{its}\:{centre}\:{and}\:{radius}\:{if}\:{it}\:{touches}\:{the}\:{line}\:{y}+{x}=\mathrm{4}. \\ $$
Answered by john santu last updated on 01/Oct/20
$${let}\:{P}\left(\mathrm{2},{b}\right)\:{be}\:{a}\:{centre}\:{point}\:{a}\:{circle} \\ $$$${touches}\:{x}−{axis}\:;\:{line}\:{y}={x}\:{and}\:{y}+{x}=\mathrm{4} \\ $$$$\left({i}\right)\:{b}\:=\:\frac{\mid\mathrm{2}−{b}\mid}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}−\mathrm{4}{b}+{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{b}−\mathrm{4}=\mathrm{0};\:\left({b}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\:\:{b}\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2} \\ $$$$\left({ii}\right)\:{b}\:=\:\frac{\mid\mathrm{2}+{b}−\mathrm{4}\mid}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\Rightarrow{b}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2} \\ $$$${so}\:{we}\:{have}\:\rightarrow\begin{cases}{{P}\left(\mathrm{2},\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2}\right)}\\{{r}\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$${equation}\:{of}\:{a}\:{circle}\:{is}\: \\ $$$$\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{12}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by bemath last updated on 01/Oct/20
Commented by bemath last updated on 01/Oct/20
$$\mathrm{great}\:\mathrm{mr}\:''\mathrm{a}\:\mathrm{farmer}\:\mathrm{math}'' \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Oct/20
![a)Suppose the equation of the circle C is (x−a)^2 +(y−b)^2 =R^2 .Since C touches the lines y=0 and y=x ,we infer the equations (x−a)^2 +b^2 =R^2 (1) and (x−a)^2 +(x−b)^2 =R^2 (2)has unique root (1)⇔x^2 −2ax+a^2 +b^2 −R^2 =0 with Δ′=a^2 −a^2 −b^2 +R^2 =R^2 −b^2 (2)⇔2x^2 −2(a+b)x+a^2 +b^2 −R^2 =0 with Δ′=(a+b)^2 −2a^2 −2b^2 +2R^2 =2R^2 −(a−b)^2 .Therefore,(1)(2)has unique root if and only if { ((R^2 −b^2 =0)),((2R^2 −(a−b)^2 =0)) :}⇔ { ((b=±R)),((a=±R±R(√2))) :} (∗) Hence,the equations of C are:(four cases) i)b=R⇒a=R(1±(√2))gives two the circles family: (x−R(1+(√2)))^2 +(y−R)^2 =R^2 . (x−R(1−(√2)))^2 +(y−R)^2 =R^2 ii)b=−R⇒a=R(−1±(√2))gives two the circles family: [x−R(−1+(√2))]^2 +(y+R)^2 =R^2 [(x−R(−1−(√2))]^2 +(y+R)^2 =R^2 Example,R=1,b=1,a=1+(√2) .... b)Now C touches to the x+y=4 if and only if the equation (x−a)^2 +(4−x−b)^2 =R^2 ⇔2x^2 −2(a−b+4)x+a^2 +(b−4)^2 −R^2 =0 has unique root. ⇔Δ′=(a−b+4)^2 −2a^2 −2(b−4)^2 +2R^2 =0 ⇔−a^2 +2(4−b)a−(4−b)^2 +2R^2 =0.From(∗)we get: ⇔−a^2 +8a−2ab−b^2 +8b−16+(a−b)^2 =0 ⇔4(2−b)a+8b−16=0 ⇔(2−b)a+2b−4=0(3) i)If b=2 then (3) is true⇒ R=2,a=2±2(√2) ii)If b≠2 then (3)⇔a=2 Replace into (∗)we get: R=(2/((1+(√2))))=2((√2)−1)=b,or R=(2/( (√2)−1))=2((√2)+1)=−b](Q116115.png)
$$\left.\mathrm{a}\right)\mathrm{Suppose}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{C}\:\mathrm{is} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} .\mathrm{Since}\:\mathrm{C}\:\mathrm{touches} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{lines}\:\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}\:,\mathrm{we}\:\mathrm{infer}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{equations}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{has}\:\mathrm{unique} \\ $$$$\mathrm{root}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{with}\:\Delta'=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{with}\:\Delta'=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{Therefore},\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{has} \\ $$$$\mathrm{unique}\:\mathrm{root}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}\\{\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{b}=\pm\mathrm{R}}\\{\mathrm{a}=\pm\mathrm{R}\pm\mathrm{R}\sqrt{\mathrm{2}}}\end{cases}\:\left(\ast\right) \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{the}\:\mathrm{equations}\:\mathrm{of}\:\mathrm{C}\:\mathrm{are}:\left(\mathrm{four}\:\mathrm{cases}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{b}=\mathrm{R}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{R}\left(\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{gives}\:\mathrm{two}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circles}\:\mathrm{family}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{R}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} . \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{R}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{b}=−\mathrm{R}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{R}\left(−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{gives}\:\mathrm{two}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circles}\:\mathrm{family}: \\ $$$$\left[\mathrm{x}−\mathrm{R}\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right]^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left[\left(\mathrm{x}−\mathrm{R}\left(−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right]^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\mathrm{Example},\mathrm{R}=\mathrm{1},\mathrm{b}=\mathrm{1},\mathrm{a}=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:.... \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{Now}\:\mathrm{C}\:\mathrm{touches}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{4}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}−\mathrm{x}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{4}\right)\mathrm{x}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{root}. \\ $$$$\Leftrightarrow\Delta'=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{b}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{4}−\mathrm{b}\right)\mathrm{a}−\left(\mathrm{4}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}.\mathrm{From}\left(\ast\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8a}−\mathrm{2ab}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8b}−\mathrm{16}+\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{4}\left(\mathrm{2}−\mathrm{b}\right)\mathrm{a}+\mathrm{8b}−\mathrm{16}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2}−\mathrm{b}\right)\mathrm{a}+\mathrm{2b}−\mathrm{4}=\mathrm{0}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{b}=\mathrm{2}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\Rightarrow\:\mathrm{R}=\mathrm{2},\mathrm{a}=\mathrm{2}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{If}\:\mathrm{b}\neq\mathrm{2}\:\mathrm{then}\:\left(\mathrm{3}\right)\Leftrightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\left(\ast\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\mathrm{R}=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{b},\mathrm{or}\:\mathrm{R}=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)=−\mathrm{b} \\ $$