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Question Number 116163 by harckinwunmy last updated on 01/Oct/20

I need a general rule for factorising 1) a^n +b^n 2) a^n −b^n when n is even and when n is odd.

$$\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{rule}\:\mathrm{for}\:\mathrm{factorising} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} +\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\:\mathrm{and}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}. \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Oct/20

I need a general rule for factorising 1) a^n +b^n 2) a^n −b^n when n is even and when n is odd. i)when n is even :n=2k we have 1)a^(2k) +b^(2k) =(a^k +b^k )^2 −2a^k b^k (a^k +(√(2a^k b^k )) +b^k )(a^k −(√(2a^k b^k )) +b^k ) 2)a^(2k) −b^(2k) =(a^k +b^k )(a^k −b^k ) =(a^k +b^k )(a−b)(a^(k−1) +a^(k−2) b+a^(k−3) b^2 +...+b^(k−1) ) ii)When n is odd :n=2k+1 we have 1)a^(2k+1) +b^(2k+1) =(a+b)(a^(2k) −a^(2k−1) b +a^(2k−2) b^2 −...+b^(2k) ) 2)a^(2k+1) −b^(2k+1) =(a−b)(a^(2k) +a^(2k−1) b+ ...+ab^(2k−1) +b^(2k) )

$$\mathrm{I}\:\mathrm{need}\:\mathrm{a}\:\mathrm{general}\:\mathrm{rule}\:\mathrm{for}\:\mathrm{factorising} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} +\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\:\mathrm{and}\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}. \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\::\mathrm{n}=\mathrm{2k}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} =\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{k}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\sqrt{\mathrm{2a}^{\mathrm{k}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} }\:+\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} −\sqrt{\mathrm{2a}^{\mathrm{k}} \mathrm{b}^{\mathrm{k}} }\:+\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} =\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} −\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right) \\ $$$$=\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}^{\mathrm{k}−\mathrm{2}} \mathrm{b}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}−\mathrm{3}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right. \\ $$$$\left.+...+\mathrm{b}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{When}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd}\::\mathrm{n}=\mathrm{2k}+\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} \mathrm{b}\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{a}^{\mathrm{2k}−\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} −...+\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} \mathrm{b}+\right. \\ $$$$\left....+\mathrm{ab}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2k}} \right) \\ $$

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