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Question Number 116163 by harckinwunmy last updated on 01/Oct/20

$$\mathrm{I}\mathrm{need}\mathrm{a}\mathrm{general}\mathrm{rule}\mathrm{for}\mathrm{factorising}$$$$1){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}$$$$2){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}$$$$\mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{even}\mathrm{and}\mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{odd}.$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Oct/20

$$\mathrm{I}\mathrm{need}\mathrm{a}\mathrm{general}\mathrm{rule}\mathrm{for}\mathrm{factorising}$$$$1){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}$$$$2){\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}$$$$\mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{even}\mathrm{and}\mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{odd}.$$$$\mathrm{i})\mathrm{when}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{even}:\mathrm{n}=2\mathrm{k}\mathrm{we}\mathrm{have}$$$$1){\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}}+{\mathrm{b}}^{2\mathrm{k}}={({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}})}^2-{2\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}$$$$({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}+\sqrt{{2\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}})({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}-\sqrt{{2\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}})$$$$2){\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}^{2\mathrm{k}}=({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}})({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}})$$$$=({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}})(\mathrm{a}-\mathrm{b})({\mathrm{a}}^{\mathrm{k}-1}+{\mathrm{a}}^{\mathrm{k}-2}\mathrm{b}+{\mathrm{a}}^{\mathrm{k}-3}{\mathrm{b}}^2$$$$+...+{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}-1})$$$$\mathrm{ii})\mathrm{When}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{odd}:\mathrm{n}=2\mathrm{k}+1\mathrm{we}\mathrm{have}$$$$1){\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}+1}+{\mathrm{b}}^{2\mathrm{k}+1}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})({\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}}-{\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}-1}\mathrm{b}$$$$+{\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}-2}{\mathrm{b}}^2-...+{\mathrm{b}}^{2\mathrm{k}})$$$$2){\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}+1}-{\mathrm{b}}^{2\mathrm{k}+1}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})({\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}}+{\mathrm{a}}^{2\mathrm{k}-1}\mathrm{b}+$$$$...+{\mathrm{ab}}^{2\mathrm{k}-1}+{\mathrm{b}}^{2\mathrm{k}})$$

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