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Question Number 116167 by Ar Brandon last updated on 01/Oct/20

Show that ∀n≥2 the equation x^n =x+n admits a unique solution u_n ∈(1,2]

$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\forall{n}\geqslant\mathrm{2}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:{x}^{{n}} ={x}+{n} \\ $$$$\mathrm{admits}\:\mathrm{a}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \in\left(\mathrm{1},\mathrm{2}\right] \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 01/Oct/20

Put f(x)=x^n −x−n.We have f(1)f(2)=(−n)(2^n −2−n)=−n(2^n −2−n)≤0(1) Indeed,put g(n)=2^n −n−2 then g′(n)=2^n ln2−1>4ln2−1>0.Hence, g(n) is an increase function on [2;∞) ⇒g(n)>g(2)=0∀n≥2 Thus,(1) is true ∀ n≥2,so by Rolle′s theorem we infer f(x) has a root u_n ∈(1,2).Furthermore,f ′(x)=nx^(n−1) −1 >0∀x∈(1,+∞) so u_n is unique root since f(x)is an icrease on [1,+∞)

$$\mathrm{Put}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}−\mathrm{n}.\mathrm{We}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\left(−\mathrm{n}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}−\mathrm{n}\right)=−\mathrm{n}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}−\mathrm{n}\right)\leqslant\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Indeed},\mathrm{put}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}−\mathrm{2}\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{g}'\left(\mathrm{n}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln2}−\mathrm{1}>\mathrm{4ln2}−\mathrm{1}>\mathrm{0}.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{increase}\:\mathrm{function}\:\mathrm{on}\:\left[\mathrm{2};\infty\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)>\mathrm{g}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\forall\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Thus},\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\forall\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{2},\mathrm{so}\:\mathrm{by}\: \\ $$$$\mathrm{Rolle}'\mathrm{s}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{we}\:\mathrm{infer}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root}\: \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \in\left(\mathrm{1},\mathrm{2}\right).\mathrm{Furthermore},\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$>\mathrm{0}\forall\mathrm{x}\in\left(\mathrm{1},+\infty\right)\:\mathrm{so}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \mathrm{is}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{root} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{icrease}\:\mathrm{on}\:\left[\mathrm{1},+\infty\right) \\ $$

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