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Question Number 116915 by mathdave last updated on 07/Oct/20

Answered by Lordose last updated on 07/Oct/20

𝛀 = lim_(nβ†’βˆž) (a^n /(1+a^n )) 𝛀 = lim_(nβ†’βˆž) ((a^n lna)/(a^n lna)) 𝛀 = 1

$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \mathrm{lna}}{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \mathrm{lna}} \\ $$$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\mathrm{1} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Oct/20

u_n =(a^n /((1+a)(1+a^2 )....(1+a^n ))) β‡’ln(u_n ) =nln(a)βˆ’ln(Ξ _(k=1) ^n (1+a^k )) =nlnaβˆ’Ξ£_(k=1) ^n ln(1+a^k ) we have ln^β€² (1+u)=(1/(1+u)) =1βˆ’u +u^2 βˆ’.. β‡’ ln(1+u) =uβˆ’(u^2 /2) +... β‡’uβˆ’(u^2 /2)≀ln(1+u)≀u β‡’ a^k βˆ’(a^(2k) /2)≀ln(1+a^k )≀a^k β‡’Ξ£_(k=1) ^n (a^k βˆ’(1/2)a^(2k) )≀Σ_(k=1) ^n ln(1+a^k )≀Σ_(k=1) ^n a^k β‡’ β‡’((1βˆ’a^(n+1) )/(1βˆ’a))βˆ’1 βˆ’(1/2)Γ—(((1βˆ’a^(2n+2) )/(1βˆ’a^2 )) βˆ’1)≀Σ_(k=1) ^n ln(1+a^k )≀((1βˆ’a^(n+1) )/(1βˆ’a))βˆ’1 (if aβ‰ 1) nlnaβˆ’((1βˆ’a^(n+1) )/(1βˆ’a)) +1 ≀ln(u_n )≀nln(a)βˆ’((1βˆ’a^(n+1) )/(1βˆ’a))+(1/2) +((1βˆ’a^(2n+2) )/(2(1βˆ’a^2 ))) if ∣a∣<1 due to lim_(nβ†’+∞) nlna =+∞ we get lim_(nβ†’+∞) ln(u_n )=+∞ β‡’ lim_(nβ†’+∞) u_n =+∞ if ∣a∣>1 we put a =(1/u) β‡’βˆ£u∣<1 β‡’ βˆ’nlnuβˆ’((1βˆ’(1/u^(n+1) ))/(1βˆ’(1/u))) +1 ≀ln(u_n )β‰€βˆ’nlnu βˆ’((1βˆ’(1/u^(n+1) ))/(1βˆ’(1/u))) +((1βˆ’(1/u^(2n+2) ))/(2(1βˆ’(1/u^2 )))) ....be continued...

$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)....\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\:=\mathrm{nln}\left(\mathrm{a}\right)βˆ’\mathrm{ln}\left(\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\right) \\ $$$$=\mathrm{nlna}βˆ’\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\:=\mathrm{1}βˆ’\mathrm{u}\:+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} βˆ’..\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)\:=\mathrm{u}βˆ’\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+...\:\Rightarrow\mathrm{u}βˆ’\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)\leqslant\mathrm{u}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{k}} βˆ’\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} }{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\leqslant\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{k}} βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}^{\mathrm{2k}} \right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}}βˆ’\mathrm{1}\:βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Γ—\left(\frac{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:βˆ’\mathrm{1}\right)\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \right)\leqslant\frac{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}}βˆ’\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{if}\:\mathrm{a}\neq\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{nlna}βˆ’\frac{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}}\:+\mathrm{1}\:\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\leqslant\mathrm{nln}\left(\mathrm{a}\right)βˆ’\frac{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mid\mathrm{a}\mid<\mathrm{1}\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{nlna}\:=+\infty\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)=+\infty\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} =+\infty\:\:\:\mathrm{if}\:\mid\mathrm{a}\mid>\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{put}\:\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\:\Rightarrow\mid\mathrm{u}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$βˆ’\mathrm{nlnu}βˆ’\frac{\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }}{\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}}\:+\mathrm{1}\:\leqslant\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)\leqslantβˆ’\mathrm{nlnu}\:βˆ’\frac{\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }}{\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}}\:+\frac{\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$

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