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Question Number 117027 by I want to learn more last updated on 09/Oct/20

solve: ((x − 4)/(x − 3)) < ((2x − 1)/2)

$$\mathrm{solve}:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}\:\:−\:\:\mathrm{4}}{\mathrm{x}\:\:−\:\:\mathrm{3}}\:\:\:<\:\:\:\frac{\mathrm{2x}\:\:−\:\:\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by bemath last updated on 09/Oct/20

⇒((x−4)/(x−3)) −((2x−1)/2) < 0 ⇒ ((2x−8−(2x−1)(x−3))/(2(x−3))) < 0 ⇒ ((2x−8−(2x^2 −7x+3))/(2(x−3))) < 0 ⇒((−2x^2 +9x−11)/(2(x−3))) < 0 ⇒((2x^2 −9x+11)/(2(x−3))) > 0 ⇒((x^2 −(9/2)x+((11)/2))/(x−3)) > 0 ⇒(((x−(9/4))^2 −((81)/(16))+((88)/(16)))/(x−3)) > 0 ⇒ (((x−(9/4))^2 +(7/(16)))/(x−3)) > 0 the solution x > 3

$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:−\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{8}−\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{8}−\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9x}−\mathrm{11}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9x}+\mathrm{11}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{81}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{88}}{\mathrm{16}}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\frac{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{16}}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:>\:\mathrm{0}\: \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{x}\:>\:\mathrm{3} \\ $$

Commented byI want to learn more last updated on 09/Oct/20

Thanks sir

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20

((x−4)/(x−3))<((2x−1)/2)⇔((x−4)/(x−3))−((2x−1)/2)<0 ((2x−8−(2x^2 −7x+3))/(2(x−3)))<0 ⇔((−2x^2 +9x−11)/(x−3))<0⇔((2x^2 −9x+11)/(x−3))>0(1) 2x^2 −9x+11=2(x−(9/4))^2 +(7/8)>0 ∀x∈R Hence,(1)⇔x−3>0⇔x>3 Thus,the given inequality has set of roots is S=(3;+∞)

$$\frac{\mathrm{x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}<\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{x}−\mathrm{4}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<\mathrm{0} \\ $$ $$\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{8}−\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7x}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}<\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9x}−\mathrm{11}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}<\mathrm{0}\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9x}+\mathrm{11}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}>\mathrm{0}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9x}+\mathrm{11}=\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}>\mathrm{0}\:\forall\mathrm{x}\in\mathrm{R} \\ $$ $$\mathrm{Hence},\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}−\mathrm{3}>\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}>\mathrm{3} \\ $$ $$\mathrm{Thus},\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{has}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of} \\ $$ $$\mathrm{roots}\:\mathrm{is}\:\:\:\mathrm{S}=\left(\mathrm{3};+\infty\right) \\ $$

Commented bybemath last updated on 09/Oct/20

gave kudos

$$\mathrm{gave}\:\mathrm{kudos} \\ $$

Commented byI want to learn more last updated on 09/Oct/20

Thanks sir

$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by1549442205PVT last updated on 09/Oct/20

You are welcome.

$$\mathrm{You}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}. \\ $$

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