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Question Number 117046 by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20

Calculate without using caculator: a)−2(√2)sin10°(2sin35°−((sec5°)/2)−((cos40°)/(sin5°))) b)sin6°−sin42°−sin66°+sin78°

$$\mathrm{Calculate}\:\mathrm{without}\:\mathrm{using}\:\mathrm{caculator}: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{sin10}°\left(\mathrm{2sin35}°−\frac{\mathrm{sec5}°}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{cos40}°}{\mathrm{sin5}°}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{sin6}°−\mathrm{sin42}°−\mathrm{sin66}°+\mathrm{sin78}° \\ $$

Answered by bemath last updated on 09/Oct/20

(a) −4(√2) sin 35° sin 10°+ (((√2) sin 10°)/(cos 5°)) + ((2(√2) cos 40° sin 10°)/(sin 5°)) = 2(√2) (cos 45°−cos 25°)+2(√2) sin 5°+4(√2) cos 40° cos 5° = 2−2(√2)cos 25°+2(√2) sin 5°+2(√2)(cos 45°+cos 35°) 4−2(√2)cos 25°+2(√2) sin 5° +2(√2) cos 35° = 4−2(√2)cos 25°+2(√2) cos 35°+2(√2) sin 5°= 4+2(√2) (cos 35°−cos 25°)+2(√2) sin 5° = 4+2(√2) (−2sin 30° sin 5°)+2(√2) sin 5° 4−2(√2) sin 5° +2(√2) sin 5° = 4

$$\left(\mathrm{a}\right)\:−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{35}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{10}°+\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{10}°}{\mathrm{cos}\:\mathrm{5}°}\:+\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{40}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{10}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{5}°}\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{45}°−\mathrm{cos}\:\mathrm{25}°\right)+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\:\mathrm{5}°+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{40}°\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5}°\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{25}°+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\:\mathrm{5}°+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{45}°+\mathrm{cos}\:\mathrm{35}°\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{25}°+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\:\mathrm{5}°\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{35}°\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{25}°+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{35}°+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\:\mathrm{5}°= \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{35}°−\mathrm{cos}\:\mathrm{25}°\right)+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\:\mathrm{5}°\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(−\mathrm{2sin}\:\mathrm{30}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{5}°\right)+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\:\mathrm{5}° \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{5}°\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{5}°\:=\:\mathrm{4} \\ $$

Answered by bobhans last updated on 09/Oct/20

(b)( sin 78°−sin 66°)−(sin 42°−sin 6°) = 2cos 72° sin 6°−(2cos 24°sin 18°)= 2sin 18°sin 6°−2sin 66°sin 18° = 2sin 18° (sin 6°−sin 66°) = 2sin 18°( −2cos 36°sin 30°) = −2sin 18° cos 36°= −2((((√5)−1)/4))((((√5)+1)/4))=−(1/2) ⇒sin 18°= (((√5)−1)/4) ⇒cos 36° = (((√5)+1)/4)

$$\left(\mathrm{b}\right)\left(\:\mathrm{sin}\:\mathrm{78}°−\mathrm{sin}\:\mathrm{66}°\right)−\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{42}°−\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°\right)\:= \\ $$$$\:\:\mathrm{2cos}\:\mathrm{72}°\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°−\left(\mathrm{2cos}\:\mathrm{24}°\mathrm{sin}\:\mathrm{18}°\right)= \\ $$$$\:\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{18}°\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°−\mathrm{2sin}\:\mathrm{66}°\mathrm{sin}\:\mathrm{18}°\:= \\ $$$$\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{18}°\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{6}°−\mathrm{sin}\:\mathrm{66}°\right)\:= \\ $$$$\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{18}°\left(\:−\mathrm{2cos}\:\mathrm{36}°\mathrm{sin}\:\mathrm{30}°\right)\:= \\ $$$$−\mathrm{2sin}\:\mathrm{18}°\:\mathrm{cos}\:\mathrm{36}°= \\ $$$$−\mathrm{2}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{sin}\:\mathrm{18}°=\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cos}\:\mathrm{36}°\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20

Thank Sirs. Solution: a)A=−2(√2) (2sin10sin35−((sin10)/(2cos5))−((sin10cos40)/(sin5))) =−2(√2)(2sin10sin35−sin5−2cos5cos40) −2(√2)[cos25−cos45−sin5−(cos45+cos35)] =−2(√2)[(cos25−cos35)−sin5−2cos45] =−2(√2)(2sin30sin5−sin5−(√2)) =−2(√2)(2.(1/2)sin5−sin5−(√2)) =−2(√2)(−(√2))=4 b)B=sin6°−sin42°−sin66°+sin78° =(sin6−sin66)+(sin78−sin42) =2cos36sin(−30)+(2cos60sin18 =−2.(1/2)cos36+2(1/2)sin18 =sin18−co36=sin18−sin54 =−2cos36sin18=((−2cos36sin18cos18)/(cos18)) =((−cos36sin36)/(sin72))=−(1/2)((sin72)/(sin72))=−(1/2)

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sirs}. \\ $$$$\mathrm{Solution}: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\mathrm{A}=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{2sin10sin35}−\frac{\mathrm{sin10}}{\mathrm{2cos5}}−\frac{\mathrm{sin10cos40}}{\mathrm{sin5}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2sin10sin35}−\mathrm{sin5}−\mathrm{2cos5cos40}\right) \\ $$$$−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left[\mathrm{cos25}−\mathrm{cos45}−\mathrm{sin5}−\left(\mathrm{cos45}+\mathrm{cos35}\right)\right] \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left[\left(\mathrm{cos25}−\mathrm{cos35}\right)−\mathrm{sin5}−\mathrm{2cos45}\right] \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2sin30sin5}−\mathrm{sin5}−\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin5}−\mathrm{sin5}−\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(−\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{B}=\mathrm{sin6}°−\mathrm{sin42}°−\mathrm{sin66}°+\mathrm{sin78}° \\ $$$$=\left(\mathrm{sin6}−\mathrm{sin66}\right)+\left(\mathrm{sin78}−\mathrm{sin42}\right) \\ $$$$=\mathrm{2cos36sin}\left(−\mathrm{30}\right)+\left(\mathrm{2cos60sin18}\right. \\ $$$$=−\mathrm{2}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos36}+\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin18} \\ $$$$=\mathrm{sin18}−\mathrm{co36}=\mathrm{sin18}−\mathrm{sin54} \\ $$$$=−\mathrm{2cos36sin18}=\frac{−\mathrm{2cos36sin18cos18}}{\mathrm{cos18}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{cos36sin36}}{\mathrm{sin72}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{sin72}}{\mathrm{sin72}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$

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