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Question Number 117066 by bemath last updated on 09/Oct/20

Given f(x)= ((x−1)/(x+1)) . If f^2 (x)=f(f(x)),   f^3 (x)=f(f(f(x))) , f^(1998) (x) = g(x)  then ∫_(1/e) ^1 g(x) dx = _?

$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:.\:\mathrm{If}\:\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right),\: \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right)\:,\:\mathrm{f}^{\mathrm{1998}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{then}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:\_? \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 09/Oct/20

f^2 (x)=((((x−1)/(x+1))−1)/(((x−1)/(x+1))+1))=((−2)/(2x))=−(1/x)  f^3 (x)=−(1/((x−1)/(x+1)))=−((x+1)/(x−1))  f^4 (x)=−((((x−1)/(x+1))+1)/(((x−1)/(x+1))−1))=−((2x)/(−2))=x  f^5 (x)=((x−1)/(x+1))=f(x)  From that we get the sequence  f (x)=f^5 (x)=f^9 (x)=...f^(4k+1) (x)  Since 1998=4.499+2,we infer  g(x)=f^(1998(x)) =f^2 (x)=−(1/x).Therefore,  ∫_(1/e) ^( 1) g(x)dx=∫_(1/e) ^( 1) (−(1/x))dx=−ln∣x∣_(1/e) ^1   =ln((1/e))=ln1−lne=0−1=−1

$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{2x}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}=−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{2x}}{−\mathrm{2}}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{that}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence} \\ $$$$\mathrm{f}\:\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{9}} \left(\mathrm{x}\right)=...\mathrm{f}\:^{\mathrm{4k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{1998}=\mathrm{4}.\mathrm{499}+\mathrm{2},\mathrm{we}\:\mathrm{infer} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\:^{\mathrm{1998}\left(\mathrm{x}\right)} =\mathrm{f}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}.\mathrm{Therefore}, \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\:\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\:\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}\mid_{\mathrm{1}/\mathrm{e}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)=\mathrm{ln1}−\mathrm{lne}=\mathrm{0}−\mathrm{1}=−\mathrm{1} \\ $$

Commented by bemath last updated on 09/Oct/20

yes...santuyy

$$\mathrm{yes}...\mathrm{santuyy} \\ $$

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