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Question Number 117249 by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/20

calculate ∫_0 ^∞ (((−1)^x^2 )/(x^4 +x^2 +1))dx

$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Oct/20

A =∫_0 ^∞ (((−1)^x^2 )/(x^4 +x^2 +1))dx ⇒2A =∫_(−∞) ^(+∞) (e^(iπx^2 ) /(x^4 +x^2 +1))dx let ϕ(z) =(e^(iπz^2 ) /(z^4 +z^2 +1)) poles of ϕ? t^2 +t+1 =0 (t=z^2 )→Δ =−3 ⇒t_1 =((−1+i(√3))/2) =e^(i((2π)/3)) t_2 =((−1−i(√3))/2)=e^(−((i2π)/3)) ⇒ϕ(z) =(e^(iπz^2 ) /((z^2 −e^((i2π)/3) )(z^2 −e^(−((i2π)/3)) ))) =(e^(iπz^2 ) /((z−e^((iπ)/3) )(z+e^((iπ)/3) )(z−e^(−((iπ)/3)) )(z+e^(−((iπ)/3)) ))) so the poles are +^− e^((iπ)/3) and+^− e^(−((iπ)/3)) ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ{Res(ϕ,e^((iπ)/3) ) +Res(ϕ,−e^(−((iπ)/3)) )} Res(ϕ,e^((iπ)/3) ) =(e^(iπ(e^((2iπ)/3) )) /(2e^((iπ)/3) (2isin(((2π)/3))))) =(1/(4i(((√3)/2))))e^(−((iπ)/3)) e^(iπ(−(1/2)+((i(√3))/2))) =(1/(2i(√3))) e^(−((iπ)/3)) (−i) e^(−((π(√3))/2)) =−(1/(2(√3))) e^(−((iπ)/3)) e^(−((π(√3))/2)) Res(ϕ,−e^(−((iπ)/3)) ) =(e^(iπ(e^(−((2iπ)/3)) )) /((−2i sin(((2π)/3)))(−2e^(−((iπ)/3)) ))) =(1/(4i(((√3)/2))))e^((iπ)/3) e^(iπ(−(1/2)−((i(√3))/2))) =((−i)/(2i(√3))) e^((iπ)/3) .e^((π(√3))/2) =−(1/(2(√3))) e^((iπ)/3) e^((π(√3))/2) ⇒ ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ(−(1/(2(√3)))){ e^(−((iπ)/3)) e^(−((π(√3))/2)) +e^((iπ)/3) e^((π(√3))/2) } =((−iπ)/(√3)){e^(−((π(√3))/2)) ((1/2)−((i(√3))/2)) +e^((π(√3))/2) ((1/2)+i((√3)/2))} =((−iπ)/(√3)){ (1/2)(e^((π(√2))/2) +e^(−((π(√2))/2)) )+i((√3)/2)(e^((π(√3))/2) −e^(−π((√3)/2)) )} =−((iπ)/(√3))ch(((π(√3))/2))+π sh(((π(√3))/2)) =2A ⇒ A =(π/2)sh(((π(√3))/2))−((iπ)/(2(√3)))ch(((π(√3))/2))

$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2A}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{t}=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\rightarrow\Delta\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{are}\:\overset{−} {+}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\overset{−} {+}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\left(−\mathrm{i}\right)\:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} }{\left(−\mathrm{2i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)\left(−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{i}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} .\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\left\{\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \right\} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{i}\pi}{\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\:+\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{i}\pi}{\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\pi\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}} \right)+\mathrm{i}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{e}^{−\pi\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \right)\right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{i}\pi}{\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{ch}\left(\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)+\pi\:\mathrm{sh}\left(\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{2A}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{sh}\left(\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{ch}\left(\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$

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