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Question Number 117257 by bemath last updated on 10/Oct/20

$$If\sin {}^2\left(x\right)+\cos {}^2\left(x\right)=1then$$$$whatthevalueof\sin {}^{11}\left(x\right)+\cos {}^{11}\left(x\right)=?$$

Commented by bemath last updated on 10/Oct/20

$$\mathrm{nice}\mathrm{question}$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Oct/20

$$\mathrm{generally}\mathrm{let}\mathrm{find}{\sin }^{2\mathrm{n}+1}\mathrm{x}+{\cos }^{2\mathrm{n}+1}\mathrm{x}={\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)$$$${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)={\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ix}}}{2\mathrm{i}}\right)}^{2\mathrm{n}+1}+{\left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ix}}}{2}\right)}^{2\mathrm{n}+1}$$$$=\frac{1}{{\left(2\mathrm{i}\right)}^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}\right)}^{\mathrm{k}}{(-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{ix}})}^{2\mathrm{n}+1-\mathrm{k}}$$$$+\frac{1}{2^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{ix}}\right)}^{\mathrm{k}}{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{ix}}\right)}^{2\mathrm{n}+1-\mathrm{k}}$$$$=\frac{1}{{\left(2\mathrm{i}\right)}^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}{(-1)}^{2\mathrm{n}+1-\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(2\mathrm{n}+1-\mathrm{k})\mathrm{x}}$$$$+\frac{1}{2^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{ikx}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}(2\mathrm{n}+1-\mathrm{k})\mathrm{x}}$$$$=-\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}}{2^{2\mathrm{n}+1}\mathrm{i}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\mathrm{k}-(2\mathrm{n}+1)+\mathrm{k})\mathrm{x}}$$$$+\frac{1}{2^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\mathrm{k}+\mathrm{k}-(2\mathrm{n}+1))\mathrm{x}}$$$$=\mathrm{i}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}}{2^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2\mathrm{k}-(2\mathrm{n}+1))\mathrm{x}}+\frac{1}{2^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2\mathrm{k}-(2\mathrm{n}+1))\mathrm{x}}$$$$=(1+\mathrm{i}{(-1)}^{\mathrm{n}})\times \frac{1}{2^{2\mathrm{n}+1}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2\mathrm{k}-(2\mathrm{n}+1))\mathrm{x}}$$$$\mathrm{n}=5\Rightarrow {\sin }^{11}\mathrm{x}+{\cos }^{11}\mathrm{x}=\frac{1-\mathrm{i}}{2^{11}}\sum _{\mathrm{k}=0}^{11}{\mathrm{C}}_{11}^{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2\mathrm{k}-11)\mathrm{x}}$$$$=\frac{1-\mathrm{i}}{2^{11}}\{{\mathrm{C}}_{11}^0{\mathrm{e}}^{-11\mathrm{ix}}+{\mathrm{C}}_{11}^1{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(-9)\mathrm{x}}+{\mathrm{C}}_{11}^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(-7)\mathrm{x}}+....{\mathrm{C}}_{11}^{11}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}11\mathrm{x}}\}$$

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