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Question Number 118069 by Lordose last updated on 15/Oct/20

$$1.)\mathrm{i})\mathrm{A}\mathrm{right}\mathrm{circular}\mathrm{cone}\mathrm{is}\mathrm{circumscribed}$$$$\mathrm{about}\mathrm{a}\mathrm{sphere}\mathrm{of}\mathrm{radius}\left(\mathbf{r}\right).\mathrm{If}\mathbf{d}\mathrm{is}\mathrm{the}$$$$\mathrm{distance}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{center}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sphere}$$$$\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{vertex}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cone},\mathrm{show}\mathrm{that}\mathrm{the}$$$$\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cone},\mathbf{V}=\frac{\mathit{\pi }{\mathbf{r}}^2{(\mathbf{r}+\mathbf{d})}^2}{3(\mathbf{d}-\mathbf{r})}.$$$$\mathrm{ii})$$$$\mathbf{F}\mathrm{ind}\mathrm{the}\mathrm{vertical}\mathrm{angle}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cone}\mathrm{when}$$$${\mathrm{it}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{volume}\mathrm{is}\mathrm{minimum}.$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 15/Oct/20

$$\mathrm{i})\mathrm{Altitude}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cone}\mathrm{equalto}\mathrm{h}=\mathrm{d}+\mathrm{r}$$$$\mathrm{Denote}\mathrm{by}\phi \mathrm{the}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{vertex}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{cone}\Rightarrow \tan \frac{\phi }{2}=\frac{\mathrm{r}}{\sqrt{{\mathrm{d}}^2-{\mathrm{r}}^2}},$$$$\mathrm{The}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{base}\mathrm{circle}\mathrm{equal}\mathrm{to}$$$$\mathrm{R}=\mathrm{htan}\frac{\phi }{2}=\frac{(\mathrm{d}+\mathrm{r})\mathrm{r}}{\sqrt{{\mathrm{d}}^2-{\mathrm{r}}^2}}$$$$\Rightarrow \mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{Bh}=\frac{1}{3}.\pi {\mathrm{R}}^2\mathrm{h}=\frac{\pi {\mathrm{r}}^2{(\mathrm{d}+\mathrm{r})}^3}{3({\mathrm{d}}^2-{\mathrm{r}}^2)}$$$$\mathrm{V}=\frac{\pi {\mathrm{r}}^2{(\mathrm{d}+\mathrm{r})}^2}{3(\mathrm{d}-\mathrm{r})}(\mathbf{q}.\mathbf{e}.\mathbf{d})$$$$\mathrm{ii})\mathrm{There}\mathrm{are}\mathrm{two}\mathrm{possible}\mathrm{possbility}\mathrm{ocurr}$$$$\mathrm{a})\mathrm{The}\mathrm{case}\mathrm{r}=\mathrm{constant}$$$$\mathrm{Put}\mathrm{x}=\mathrm{d}.\mathrm{we}\mathrm{need}\mathrm{determine}\mathrm{d}\mathrm{when}$$$$\mathrm{V}\mathrm{receive}\mathrm{smallest}\mathrm{value}.\mathrm{Since}\mathrm{r}\mathrm{is}$$$$\mathrm{constant},\mathrm{so}\mathrm{Vhas}\mathrm{greatest}\mathrm{value}\mathrm{if}\mathrm{and}$$$$\mathrm{only}\mathrm{if}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{(\mathrm{x}+\mathrm{r})}^2}{\mathrm{x}-\mathrm{r}},\mathrm{x}\in (0,2\mathrm{r})\mathrm{is}\mathrm{smallest}$$$$\mathrm{f}{}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2(\mathrm{x}+\mathrm{r})(\mathrm{x}-\mathrm{r})-{(\mathrm{x}+\mathrm{r})}^2}{{(\mathrm{x}-\mathrm{r})}^2}=0$$$$\iff {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{xr}-{3\mathrm{r}}^2=0{\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\mathrm{r}}^2+{3\mathrm{r}}^2={\left(2\mathrm{r}\right)}^2$$$$\Rightarrow \mathrm{x}=3\mathrm{r}\notin (0,2\mathrm{r}).\mathrm{Thus}\mathrm{if}\mathrm{r}=\mathrm{constant}\mathrm{then}$$$$\mathrm{V}{\mathrm{can}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{receive}\mathrm{smallest}$$$$\mathrm{b})\mathrm{The}\mathrm{d}=\mathrm{constant},\mathrm{put}\mathrm{r}=\mathrm{x}.\mathrm{Then}\mathrm{V}$$$$\mathrm{receives}\mathrm{smallest}\mathrm{value}\mathrm{if}\mathrm{and}\mathrm{only}\mathrm{if}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2{(\mathrm{d}+\mathrm{x})}^2}{\mathrm{d}-\mathrm{x}}\mathrm{receives}\mathrm{smallestvalue}$$$$\mathrm{f}{}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\frac{2\mathrm{x}(\mathrm{d}+\mathrm{x})(2\mathrm{x}+\mathrm{d})+{\mathrm{x}}^2{(\mathrm{d}+\mathrm{x})}^2}{{(\mathrm{d}-\mathrm{x})}^2}=0$$$$\iff {4\mathrm{x}}^3+{6\mathrm{dx}}^2+{2\mathrm{d}}^2\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^4+{2\mathrm{dx}}^3+{\mathrm{d}}^2{\mathrm{x}}^2=0$$$$\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{easy}\mathrm{to}\mathrm{see}\mathrm{this}\mathrm{equation}\mathrm{has}\mathrm{no}$$$$\mathrm{roots}\mathrm{in}\mathrm{interval}(0,\mathrm{d})$$$$\mathrm{Thus},\mathrm{V}{\mathrm{can}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{receives}\mathrm{smallest}\mathrm{value}$$$$\mathrm{The}\mathrm{problem}\mathrm{has}\mathrm{no}\mathrm{solution}$$

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