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Question Number 118436 by bramlexs22 last updated on 17/Oct/20

∫ cos^4 (x) cos^4 (2x) dx

$$\:\:\int\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left({x}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}{x}\right)\:{dx}\: \\ $$

Answered by benjo_mathlover last updated on 17/Oct/20

(1) cos^4 (x)= ((1/2)+(1/2)cos (2x))^2 =(1/4)+(1/2)cos (2x)+(1/4)((1/2)+(1/2)cos (4x)) = (3/8)+(1/2)cos (2x)+(1/8)cos (4x) (2) cos^4 (2x)=((1/2)+(1/2)cos (4x))^2 =(1/4)+(1/2)cos (4x)+(1/4)((1/2)+(1/2)cos (8x)) = (3/8)+(1/2)cos (4x)+(1/8)cos (8x) Then (1)×(2): = (9/(64))+(3/(16))cos (4x)+(3/(64))cos (8x)+(3/(16))cos (2x) + (1/8)cos (6x)+(1/8)cos (2x)+(1/(32))cos (10x) + (1/(32))cos (6x)+(3/(64))cos (4x)+(1/(32))+(1/(32))cos (8x) + (1/(128))cos (12x)+(1/(128))cos (4x)

$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left({x}\right)=\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}{x}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right) \\ $$$${Then}\:\left(\mathrm{1}\right)×\left(\mathrm{2}\right):\: \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{64}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{64}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{6}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{10}{x}\right) \\ $$$$\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{6}{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{64}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{128}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{12}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{128}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Oct/20

I =∫ cos^4 x cos^4 (2x)dx ⇒I =∫(((1+cos(2x))/2))^2 (((1+cos(4x))/2))^2 dx =(1/(16))∫ (1+cos(2x))^2 (1+cos(4x))^2 dx =(1/(16))∫(1+2cos(2x)+cos^2 (2x))(1+2cos(4x)+cos^2 (4x))dx 16I =∫(1+2cos(4x)+cos^2 (4x)+2cos(2x)+4cos(2x)cos(4x) +2cos(2x)cos^2 (4x) +cos^2 (2x)+2cos^2 (2x)cos(4x)+cos^2 (2x)cos^2 (4x))dx =x +(1/2)sin(4x) +∫ cos^2 (4x)dx +sin(2x) +4∫ cos(2x)cos(4x)dx +2∫ cos(2x)cos^2 (4x)dx +∫ cos^2 (2x)dx +2∫ cos^2 (2x)cos(4x)dx +∫ cos^2 (2x)cos^2 (4x)dx we have ∫ cos^2 (4x)dx =∫ ((1+cos(8x))/2)dx =(x/2)+(1/(16))sin(8x)+c_0 ∫ cos(2x)cos(4x)dx =(1/2)∫(cos(6x)+cos(2x))dx =(1/(12))sin(6x) +(1/4)sin(2x) +c_1 ∫ cos(2x)cos^2 (4x)dx =(1/2)∫cos(2x)(1+cos(8x))dx =(1/4)sin(2x)+(1/2)∫ cos(2x)cos(8x)dx =(1/4)sin(2x)+(1/4)∫(cos(10x)+cos(6x))dx =(1/4)sin(2x)+(1/(40))sin(10x)+(1/(24))sin(6x) +c_2 ∫ cos^2 (2x)dx =(1/2)∫(1+cos(4x))dx =(x/2) +(1/8)sin(4x)+c_3 ∫ cos^2 (2x)cos(4x)dx =(1/2)∫(1+cos(4x))cos4xdx =(1/2)∫cos(4x)dx +(1/4)∫ (1+cos(8x))dx =(1/8)sin(4x)+(x/4) +(1/(32))sin(8x) +c_4 also ∫ cos^2 (2x)cos^2 (4x)dx =(1/4)∫(1+cos(4x))(1+cos(8x))dx =(1/4)∫(1+cos(8x)+cos(4x)+cos(4x)cos(8x))dx =(x/4) +(1/(32))sin(8x)+(1/(16))sin(4x) +(1/8)∫cos(12x)+cos(4x))dx =(x/4)+(1/(32))sin(8x)+(1/(16))sin(4x)+(1/(8.12))sin(12x)+(1/(32))sin(4x) rest to collect the integrals..

$$\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{16I}\:=\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{4cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\:+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{4}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\mathrm{2}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:+\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:+\mathrm{2}\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{6x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{6x}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{10x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{6x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{40}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{10x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{6x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{cos4xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{4}} \:\:\:\mathrm{also} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\left.=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{12x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}.\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{12x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{collect}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integrals}.. \\ $$$$ \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 17/Oct/20

∫cos^4 x cos^4 2x dx= [t=tan x → dx=cos^2 x dt] =∫(((t−1)^4 (t+1)^4 )/((t^2 +1)^7 ))dt= [Ostrogradski′s Method] =((t(165t^(10) +935t^8 +1986t^6 +3006t^4 +1305t^2 +795))/(960(t^2 +1)^6 ))+ +((11)/(64))∫(dt/(t^2 +1)) [which = ((11)/(64))arctan t] now put t=tan x

$$\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \:{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{2}{x}\:{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dt}\right] \\ $$$$=\int\frac{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{7}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\right] \\ $$$$=\frac{{t}\left(\mathrm{165}{t}^{\mathrm{10}} +\mathrm{935}{t}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1986}{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3006}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1305}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{795}\right)}{\mathrm{960}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }+ \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{64}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\left[\mathrm{which}\:=\:\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{64}}\mathrm{arctan}\:{t}\right]\: \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{put}\:{t}=\mathrm{tan}\:{x} \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 17/Oct/20

cos^4 x=(((1+cos2x)/2))^2 =((1+2cos2x+cos^2 2x)/4) Put F=∫cos^4 (x) cos^4 (2x)dx⇒4F= ∫cos^4 2xdx+2∫cos^4 2xcos2xdx+∫cos^6 2xdx cos^4 2x=(((1+cos4x)/2))^2 =((1+2cos4x+cos^2 4x)/4) =(1/4)(1+2cos4x+((1+cos8x)/2))(1) =(1−sin^2 2x)^2 =1−2sin^2 2x+sin^4 2x(2) cos^6 2x=((1+cos4x)/2))^3 =(1/8)(1+3cos4x +3cos^2 4x+cos^3 4x) =(1/8)+(3/8)cos4x+(3/(16))(1+cos8x)+(1−sin^2 4x)cos4x =(5/(16))+(3/8)cos4x+(3/(16))cos8x+(1−2sin^2 4x+sin^4 4x)cos4x(3) From(1)(2)(3)we get 4F=∫((11)/(16))dx+(7/8)∫cos4xdx+(5/(16))∫cos8xdx +(1/4)∫(1−sin^2 4x)d(sin4x) +∫(1−2sin^2 2x+sin^4 2x)d(sin2x) =((11)/(16))x+(7/(32))sin4x+(5/(128))sin8x+(1/4)sin4x −(1/(12))sin^3 4x+sin2x−(2/3)sin^3 2x+(1/5)sin^5 2x F=(1/4)(((11)/(16))x+(7/(32))sin4x+(5/(128))sin8x −(1/(12))sin^3 4x+sin2x−(2/3)sin^3 2x +(1/5)sin^5 2x)+C

$$\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}=\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos2x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2cos2x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{F}=\int\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left({x}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}{x}\right)\mathrm{dx}\Rightarrow\mathrm{4F}= \\ $$$$\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{2xdx}+\mathrm{2}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{2xcos2xdx}+\int\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{2xdx} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}=\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos4x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2cos4x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos4x}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos8x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{2x}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos4x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3cos4x}\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{4x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos8x}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}\right)\mathrm{cos4x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos8x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{4x}\right)\mathrm{cos4x}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{4F}=\int\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\int\mathrm{cos4xdx}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}\int\mathrm{cos8xdx} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{sin4x}\right) \\ $$$$+\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{sin2x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin4x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{128}}\mathrm{sin8x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin4x} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{4x}+\mathrm{sin2x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{F}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin4x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{128}}\mathrm{sin8x}\right. \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{4x}+\mathrm{sin2x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{2x} \\ $$$$\left.+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \mathrm{2x}\right)+\mathrm{C} \\ $$

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