Question Number 118712 by 1549442205PVT last updated on 19/Oct/20 | ||
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{inequalities}: \\ $$ $$\left.\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} >\mathrm{n}!\:\mathrm{for}\:\forall\mathrm{n}\in\mathrm{N}^{\ast} ,\mathrm{n}>\mathrm{1} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\mid\mathrm{sinnx}\mid\leqslant\mathrm{n}\mid\mathrm{sinx}\mid\:\mathrm{for}\:\forall\mathrm{n}\in\mathrm{N}^{\ast} \\ $$ | ||
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 19/Oct/20 | ||
$$\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+...{n}}{{n}}\geqslant\left(\mathrm{1}.\mathrm{2}.\mathrm{3}.\mathrm{4}..{n}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \\ $$ $$\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}{n}}\geqslant\left({n}!\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{n}}} \\ $$ $$\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} \geqslant{n}! \\ $$ $${take}\:{n}>\mathrm{1} \\ $$ $$\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{2}!\:\:\:\left({Which}\:{is}\:{true}\right) \\ $$ $${So} \\ $$ $$\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} >{n}!\:\:\:\:\left({n}>\mathrm{1}\right) \\ $$ | ||
Commented by1549442205PVT last updated on 20/Oct/20 | ||
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}. \\ $$ | ||
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 19/Oct/20 | ||
$$\left.\mathrm{2}\right){applying}\:{logic} \\ $$ $$\mathrm{1}\geqslant\mid{sinnx}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$ $$\boldsymbol{{and}}\:\mathrm{1}\geqslant\mid{sinx}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$ $${but}\:{n}\geqslant{n}\mid{sinx}\mid\geqslant\mathrm{0} \\ $$ $${so}\:{n}\mid{sinx}\mid>\mid{sinnx}\mid \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented by1549442205PVT last updated on 19/Oct/20 | ||
$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{see}\:\mathrm{logic}\:\mathrm{here},\mathrm{havn}'\mathrm{t}\:\mathrm{final} \\ $$ $$\mathrm{result}\:\mathrm{n}\mid\mathrm{sinx}\mid\geqslant\mid\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mid \\ $$ | ||
Commented byTANMAY PANACEA last updated on 19/Oct/20 | ||
$${ok}\:{sir}\:\:{i}\:{am}\:{trying} \\ $$ | ||
Commented by1549442205PVT last updated on 20/Oct/20 | ||
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{Sir}. \\ $$ | ||
Answered by mindispower last updated on 19/Oct/20 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow{nln}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\geqslant{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}{k}\right) \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left({k}\right)\leqslant\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}{{n}}\right)^{{n}} ,{AM}−{GM} \\ $$ $$\Rightarrow{ln}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}{k}\right)\leqslant{nln}\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}}{{n}}\right)={nln}\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented by1549442205PVT last updated on 20/Oct/20 | ||
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 20/Oct/20 | ||
$$\mathrm{We}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{induction}\:\mathrm{method} \\ $$ $$\mathrm{1}−\mathrm{For}\:\mathrm{n}=\mathrm{2}\:\mathrm{we}\:\mathrm{obtain}\:\mathrm{the}\:\mathrm{true}\:\mathrm{inequality} \\ $$ $$\mathrm{2}<\mathrm{9}/\mathrm{4}.\mathrm{Suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{k}!<\left(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} .\mathrm{Then} \\ $$ $$\mathrm{by}\:\mathrm{the}\:\mathrm{induction}\:\mathrm{hypothesis}\:\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!= \\ $$ $$\mathrm{k}!\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)<\left(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right).\mathrm{If}\:\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{prove} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\left(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)<\left(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{is}\:\mathrm{proved}\:\mathrm{because}\:\mathrm{then} \\ $$ $$\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)!<\left(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)<\left(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$ $$\mathrm{that}\:\mathrm{is}\:\mathrm{our}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{holds}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{n}=\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{Inequality}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{can}\:\mathrm{clearly}\:\mathrm{be}\:\mathrm{rewritten} \\ $$ $$\mathrm{as}\:\frac{\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }>\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }\mathrm{or}\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} >\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{binomial}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{yields} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} =\mathrm{1}+\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}+...>\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequality}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{holds}\:\mathrm{and}\:\mathrm{thus}\:\mathrm{the}\: \\ $$ $$\mathrm{oriinal}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is}\:\mathrm{proved} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{The}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is}\:\mathrm{obviously}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for} \\ $$ $$\mathrm{n}=\mathrm{1}.\mathrm{Assuming}\:\mathrm{that}\:\mid\mathrm{sinkx}\mid\leqslant\mathrm{k}\mid\mathrm{sinx}\mid \\ $$ $$,\mathrm{we}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mid\mathrm{sin}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\mid\leqslant\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mid\mathrm{sinx}\mid \\ $$ $$\mathrm{Indeed},\mathrm{using}\:\mathrm{the}\:\mathrm{inequality}\mid\mathrm{coskx}\mid\leqslant\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mid\mathrm{sin}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\mid=\mid\mathrm{sinkx}.\mathrm{cosx}+\mathrm{sinxcoskx}\mid \\ $$ $$\leqslant\mid\mathrm{sinkx}\mid.\mid\mathrm{cosx}\mid+\mid\mathrm{sinx}\mid\mid\mathrm{coskx}\mid\leqslant \\ $$ $$\mid\mathrm{sinkx}\mid+\mid\mathrm{sinx}\mid\leqslant\mathrm{k}\mid\mathrm{sinx}\mid+\mid\mathrm{sinx}\mid \\ $$ $$=\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mid\mathrm{sinx}\mid\:\mathrm{which}\:\mathrm{shows}\:\mathrm{the}\:\mathrm{required} \\ $$ $$\mathrm{is}\:\mathrm{true}.\mathrm{The}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{completed}. \\ $$ | ||