Question Number 119335 by physicstutes last updated on 23/Oct/20
$$\:\mathrm{Express}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{into}\:\mathrm{partial}\:\mathrm{fractions}. \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{evaluate}\:{I}\:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{4}} {\int}}\:{f}\left({x}\right)\:{dx} \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 23/Oct/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{B}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{Cx}+\mathrm{D}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{1}=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{B}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{Cx}+\mathrm{D}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\left(\mathrm{A}+\mathrm{C}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\left(\mathrm{A}−\mathrm{B}+\mathrm{2C}+\mathrm{D}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{A}+\mathrm{C}−\mathrm{2D}\right)\mathrm{x}−\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{D} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}+\mathrm{C}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{A}−\mathrm{B}+\mathrm{2C}+\mathrm{D}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{A}+\mathrm{C}−\mathrm{2D}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{D}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{D}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{C}=\mathrm{1}/\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{A}=−\mathrm{1}/\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{B}=\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Oct/20
![f(x)=(1/((x−1)^2 (x^2 +1))) ⇒f(x)=(a/(x−1))+(b/((x−1)^2 )) +((cx+d)/(x^2 +1)) b=(1/2) ,lim_(x→+∞) xf(x)=0 =a+c ⇒c=−a ⇒ f(x)=(a/(x−1)) +(1/(2(x−1)^2 )) +((−ax+d)/(x^2 +1)) f(0)=1 =−a+(1/2) +d ⇒−a+d=(1/2) ⇒a−d=−(1/2) f(2)=(1/5)=a +(1/2)+((−2a+d)/5) ⇒1=5a+(5/2)−2a+d ⇒ 3a+d=1−(5/2)=−(3/2) we have a=d−(1/2) ⇒3(d−(1/2))+d=−(3/2) ⇒4d=0 ⇒d=0 ⇒a=−(1/2) ⇒ f(x)=−(1/(2(x−1))) +(1/(2(x−1)^2 ))+(x/(2(x^2 +1))) so ∫_0 ^4 f(x)dx =−(1/2)∫_0 ^4 (dx/(x−1)) +(1/2)∫_0 ^4 (dx/((x−1)^2 )) +(1/4)∫_0 ^4 ((2x)/(x^2 +1))dx =−(1/2)[ln∣x−1∣]_0 ^4 −(1/2)[(1/(x−1))]_0 ^4 +(1/4)[ln(x^2 +1)]_0 ^4 =−(1/2)ln(3)−(1/2)((1/3)+1)+(1/4)ln(17) =−((ln3)/2)−(2/3) +((ln17)/4)](Q119423.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:,\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\mathrm{a}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{−\mathrm{ax}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}\:=−\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{d}\:\Rightarrow−\mathrm{a}+\mathrm{d}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{a}−\mathrm{d}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}=\mathrm{a}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{−\mathrm{2a}+\mathrm{d}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{5a}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\mathrm{2a}+\mathrm{d}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3a}+\mathrm{d}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}=\mathrm{d}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{3}\left(\mathrm{d}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{d}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4d}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{so} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{17}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{ln3}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{ln17}}{\mathrm{4}} \\ $$