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Question Number 119567 by abdul88 last updated on 25/Oct/20 | ||
$$ \\ $$ $$\left(\mathrm{1}\:−{x}\right)\frac{{d}^{\mathrm{2}} {y}}{{dx}^{\mathrm{2}\:} }\:+\:{x}\frac{{dy}}{{dx}}\:−\:{xy}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\:−\:{x}}\:,\:{x}\neq\mathrm{1} \\ $$ $${has}\:{power}\:{series}\:{solution}\:{for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\: \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Oct/20 | ||
$$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{''} +\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{y}^{'} −\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{y}\:=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\mathrm{let}\:\mathrm{y}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{''} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$ $$+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$ $$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$ $$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$ $$\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{na}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$ $$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{na}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$ $$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$ $$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} +\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \right. \\ $$ $$\left.−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\mathrm{4a}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{6a}_{\mathrm{3}} \mathrm{x} \\ $$ $$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}−\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \mathrm{x}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$ $$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \left\{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{na}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$ $$+...=\mathrm{1}\:\:....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$ | ||