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Question Number 119567 by abdul88 last updated on 25/Oct/20

$$$$ $$(1-x)\frac{d^{2}y}{{dx}^2}+x\frac{dy}{dx}-xy=\frac{1}{1-x},x\ne 1$$ $$haspowerseriessolutionfor\mid x\mid <1$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Oct/20

$$\mathrm{e}\Rightarrow {(1-\mathrm{x})}^2{\mathrm{y}}^{{}^{″}}+\mathrm{x}(1-\mathrm{x}){\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}-\mathrm{x}(1-\mathrm{x})\mathrm{y}=1(\mathrm{x}\ne 1)\mathrm{let}\mathrm{y}=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$$ $$\Rightarrow {\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{and}{\mathrm{y}}^{{}^{″}}=\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}$$ $$\mathrm{e}\Rightarrow ({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1)\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}+(\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2)\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}$$ $$+({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x})\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=1\Rightarrow$$ $$\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-2\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}$$ $$+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}+\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+2}-\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}=1\Rightarrow$$ $$\Rightarrow \sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-2\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{n}+1){\mathrm{na}}_{\mathrm{n}+1}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$$ $$+\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$$ $$+\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=1\Rightarrow$$ $$\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}-2\mathrm{n}(\mathrm{n}+1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1}+(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}+{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}$$ $$-(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-2}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-1}){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-{4\mathrm{a}}_2\mathrm{x}+{2\mathrm{a}}_2+{6\mathrm{a}}_3\mathrm{x}$$ $${\mathrm{a}}_1\mathrm{x}-{\mathrm{a}}_0\mathrm{x}=1\Rightarrow$$ $$\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\{{\mathrm{n}}^2{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}-2\mathrm{n}(\mathrm{n}+1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+1}+(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}-{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}-2}){\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$$ $$+...=1....\mathrm{be}\mathrm{continued}...$$

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