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Question Number 119812 by I want to learn more last updated on 27/Oct/20

Answered by talminator2856791 last updated on 27/Oct/20

Answered by 1549442205PVT last updated on 27/Oct/20

Commented by 1549442205PVT last updated on 27/Oct/20

$$\mathrm{Given}\mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=\mathrm{DE}=\mathrm{BC}=\mathrm{a}$$$$\mathrm{AH}=\mathrm{x}.\mathrm{Put}\mathrm{BF}=\mathrm{y}\Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=?$$$$\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{easy}\mathrm{to}\mathrm{see}\mathrm{that}\mathrm{\Delta }\mathrm{CDE}\mathrm{is}\mathrm{isosceles}$$$$\mathrm{at}\mathrm{D}\mathrm{with}\mathrm{DC}=\mathrm{DE}=\mathrm{a},\widehat{\mathrm{CDE}}=150°$$$$\widehat{\mathrm{DCE}}=\widehat{\mathrm{DEC}}=15°.\mathrm{Since}\tan 15°=2-\sqrt{3}$$$$,\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{right}\mathrm{triangle}:\mathrm{DG}=\mathrm{a}(2-\sqrt{3})$$$$\mathrm{CG}=\sqrt{{\mathrm{CD}}^2+{\mathrm{DG}}^2}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2(7-4\sqrt{3})}$$$$=\sqrt{{\mathrm{a}}^2(8-4\sqrt{3})}=2\mathrm{a}\sqrt{2-\sqrt{3}}$$$$\widehat{\mathrm{EDG}}=60°\Rightarrow {\mathrm{EG}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2(7-4\sqrt{3})-{2\mathrm{a}}^2(2-\sqrt{3})\cos 60$$$$={\mathrm{a}}^2(8-4\sqrt{3})-{\mathrm{a}}^2(2-\sqrt{3})={\mathrm{a}}^2(6-3\sqrt{3})$$$$\Rightarrow \mathrm{EG}=\mathrm{a}\sqrt{6-3\sqrt{3}}=\mathrm{a}\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}$$$$\Rightarrow \mathrm{CE}=\mathrm{EG}+\mathrm{CG}=2\mathrm{a}\sqrt{2-\sqrt{3}}+\mathrm{a}\sqrt{3}.\sqrt{2-\sqrt{3}}$$$$\mathrm{CF}=\mathrm{a}-\mathrm{y},\mathrm{HG}=\mathrm{a}-\mathrm{x}-\mathrm{DG}=\mathrm{a}(\sqrt{3}-1)-\mathrm{x}$$$$\mathrm{HG}//\mathrm{BC},\mathrm{so}\mathrm{by}{\mathrm{Thalet}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{therem}\mathrm{we}\mathrm{get}$$$$\frac{\mathrm{HG}}{\mathrm{CF}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{CE}}\Rightarrow \frac{\mathrm{a}(\sqrt{3}-1)-\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{a}\sqrt{6-3\sqrt{3}}}{\mathrm{a}(2\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3}.\sqrt{2-\sqrt{3})}}$$$$=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2-\sqrt{3})}}{(2+\sqrt{3})\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\sqrt{3}(2-\sqrt{3})$$$$\Rightarrow \mathrm{a}-\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}(\sqrt{3}-1)-\mathrm{x}}{2\sqrt{3}-3}$$$$\mathrm{y}=\mathrm{a}-\frac{\mathrm{a}(\sqrt{3}-1)-\mathrm{x}}{2\sqrt{3}-3}=\frac{\mathrm{a}(\sqrt{3}-2)+\mathrm{x}}{2\sqrt{3}-3}$$$$\frac{\mathrm{x}}{2\sqrt{3}-3}+\frac{\mathrm{a}(\sqrt{3}-2)}{2\sqrt{3}-3}=\frac{(2\sqrt{3}+3)\mathrm{x}}{3}-\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}$$$$\mathrm{Thus}\mathrm{y}=\frac{(2\sqrt{3}+3)\mathrm{x}}{3}-\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}$$$$\mathbf{Second}\mathbf{way}:$$$$\mathrm{Construct}\mathrm{the}\mathrm{coordinate}\mathrm{system}\mathrm{XOY}$$$$\mathrm{so}\mathrm{that}\mathrm{A}\equiv \mathrm{O},\mathrm{OX}\equiv \left[\mathrm{AB}\right),\mathrm{OY}\equiv \mathrm{AD}.\mathrm{Then}$$$$\mathrm{E}(-\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2},\frac{\mathrm{a}}{2}),\mathrm{F}(\mathrm{a},\mathrm{y}).\mathrm{The}\mathrm{equation}$$$$\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{pass}\mathrm{through}\mathrm{EF}\mathrm{is}$$$$\frac{\mathrm{Y}-\frac{\mathrm{a}}{2}}{\mathrm{X}+\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}=\frac{\mathrm{y}-\frac{\mathrm{a}}{2}}{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow \frac{2\mathrm{Y}-\mathrm{a}}{2\mathrm{X}+\mathrm{a}\sqrt{3}}=\frac{2\mathrm{y}-\mathrm{a}}{2\mathrm{a}+\mathrm{a}\sqrt{3}}$$$$\mathrm{The}\mathrm{this}\mathrm{line}\mathrm{pass}\mathrm{through}\mathrm{H}(0,\mathrm{x})\mathrm{so}$$$$(2\mathrm{a}+\mathrm{a}\sqrt{3})(2\mathrm{x}-\mathrm{a})=(2\mathrm{y}-\mathrm{a})\mathrm{a}\sqrt{3}$$$$\Rightarrow (2+\sqrt{3})2\mathrm{x}-\mathrm{a}(2+\sqrt{3})+\mathrm{a}\sqrt{3}=2\mathrm{y}\sqrt{3}$$$$\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{3}$$

Commented by talminator2856791 last updated on 27/Oct/20

$$\mathrm{do}\mathrm{your}\mathrm{two}\mathrm{answers}\mathrm{simplify}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{same}\mathrm{thing}?$$

Commented by talminator2856791 last updated on 27/Oct/20

$$\mathrm{i}\mathrm{see}\mathrm{you}\mathrm{used}\mathrm{geogebra}\mathrm{instead}\mathrm{of}\mathrm{this}$$$$\mathrm{fantastic}\mathrm{software}$$

Commented by 1549442205PVT last updated on 27/Oct/20

$$\mathrm{Yes},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{right}$$

Commented by I want to learn more last updated on 27/Oct/20

$$\mathrm{Wow},\mathrm{i}\mathrm{appreciate}\mathrm{sir}.$$

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