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Question Number 119934 by bramlexs22 last updated on 28/Oct/20

∫ ((sin^8 x−cos^8 x)/(1−(1/2)sin^2 2x)) dx

$$\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{8}} {x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{8}} {x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}}\:{dx}\: \\ $$

Answered by bobhans last updated on 28/Oct/20

∫ (((sin^4 x−cos^4 x)(sin^4 x+cos^4 x))/(1−2sin^2 xcos^2 x)) dx= ∫ (((1−2sin^2 xcos^2 x)(1)(sin^2 x−cos^2 x))/(1−2sin^2 xcos^2 x)) dx ^ ∫ −cos 2x dx = −(1/2)sin 2x+C = −sin xcos x + C

$$\:\int\:\frac{\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{4}} {x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} {x}\right)\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{4}} {x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} {x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:{dx}= \\ $$$$\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}}\:{dx}\overset{} {\:} \\ $$$$\:\int\:−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:{dx}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}+{C} \\ $$$$\:=\:−\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}\:+\:{C} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Oct/20

A =∫ ((sin^8 x−cos^8 x)/(1−(1/2)sin^2 (2x)))dx ⇒A =∫ (((sin^4 x)^2 −(cos^4 x)^2 )/(1−(1/2)sin^2 (2x)))dx =∫ (((sin^4 x−cos^4 x)(sin^4 x+cos^4 x))/(1−(1/2)sin^2 (2x)))dx =∫ (((sin^2 x−cos^2 x)(1)(1−2sin^2 x cos^2 x))/(1−(1/2)sin^2 (2x)))dx =∫ (((sin^2 x −cos^2 x)(1−(1/2)sin^2 (2x)))/(1−(1/2)sin^2 (2x)))dx=−∫ cos(2x) =−(1/2)sin(2x) +C=−sinx cosx +C

$$\mathrm{A}\:=\int\:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{8}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}^{\mathrm{8}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{A}\:=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\:\frac{\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\frac{\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right)}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)}\mathrm{dx}=−\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{C}=−\mathrm{sinx}\:\mathrm{cosx}\:+\mathrm{C} \\ $$

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