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Question Number 119939 by huotpat last updated on 28/Oct/20

Answered by bramlexs22 last updated on 28/Oct/20

∫ (((1−sin^2 x) cos x dx )/(1−2sin x)) [ let sin x = s ] ∫ (((1−s^2 )ds)/(1−2s)) = ∫ ((s^2 −1)/(2s−1)) ds = ∫ ((1/2)s+(1/4))ds−(3/4)∫ (ds/(2s−1)) = (1/4)s^2 +(1/4)s−(3/8)ln ∣2s−1∣ + c = (1/4)sin x(sin x+1)−(3/8)ln ∣2sin x−1∣ + c

$$\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)\:\mathrm{cos}\:{x}\:{dx}\:}{\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:{x}} \\ $$$$\:\left[\:{let}\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\:{s}\:\right] \\ $$$$\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} \right){ds}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{s}}\:=\:\int\:\frac{{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}{s}−\mathrm{1}}\:{ds} \\ $$$$=\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{s}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right){ds}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{{ds}}{\mathrm{2}{s}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{s}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{s}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2}{s}−\mathrm{1}\mid\:+\:{c} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:{x}\left(\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{2sin}\:{x}−\mathrm{1}\mid\:+\:{c} \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 28/Oct/20

∫((cos^3 x)/(1−2sinx))dx =∫((cos^2 x dt)/(1−2t))dt t=sinx =∫(((1−t^2 )dt)/(1−2t)) =∫(1/(1−2t))+∫(t^2 /(2t−1)) =−(1/2)log(2t−1)+(1/2)∫t(1+(1/(2t−1)))dt =−(1/2)log(2sinx−1)+((sin^2 x)/4)+(1/4)(1+(1/(2t−1))) =−(1/2)log(2sinx−1)+((sin^2 x)/4)+((sinx)/4)+(1/8)log(2sinx−1)+C

$$\int\frac{{cos}^{\mathrm{3}} {x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{sinx}}{dx} \\ $$$$=\int\frac{{cos}^{\mathrm{2}} {x}\:{dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}}{dt}\:\:\:\:\:\:\:{t}={sinx} \\ $$$$=\int\frac{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right){dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}}+\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int{t}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}\right){dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{2}{sinx}−\mathrm{1}\right)+\frac{{sin}^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{2}{sinx}−\mathrm{1}\right)+\frac{{sin}^{\mathrm{2}} {x}}{\mathrm{4}}+\frac{{sinx}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{log}\left(\mathrm{2}{sinx}−\mathrm{1}\right)+{C} \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Oct/20

I=∫ ((cos^3 x)/(1−2sinx))dx ⇒I=∫ ((cosx(1−sin^2 x))/(1−2sinx))dx =∫ ((cosx)/(1−2sinx))dx−∫ ((cosx sin^2 x)/(1−2sinx))dx =U−V U=∫ ((cosx)/(1−2sinx))dx =−(1/2)ln∣1−2sinx∣ +c_1 V=∫((sin^2 x cosxdx)/(1−2sinx)) =_(sinx=t) ∫ ((t^2 dt)/(1−2t)) =−∫ (t^2 /(2t−1))dt =−(1/4)∫ ((4t^2 −1+1)/(2t−1))dt=−(1/4)∫(((2t−1)(2t+1)+1)/(2t−1))dt =−(1/4)∫(2t+1)dt−(1/4)∫(dt/(2t−1))=−(t^2 /4)−(t/4)−(1/8)ln∣2t−1∣ +c_2 =−((sin^2 x)/4)−((sinx)/4)−(1/8)ln∣2sinx−1∣+c_2 ⇒ I =−(1/2)ln∣2sinx−1∣+(1/8)ln∣2sinx−1∣+((sin^2 x)/4) +((sinx)/4) +C I=−(3/8)ln∣2sinx−1∣+(1/8)ln∣2sinx−1∣+((sin^2 x)/4)+((sinx)/4) +C

$$\mathrm{I}=\int\:\:\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{cosx}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx}−\int\:\frac{\mathrm{cosx}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx}\:=\mathrm{U}−\mathrm{V} \\ $$$$\mathrm{U}=\int\:\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}\mid\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{V}=\int\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{cosxdx}}{\mathrm{1}−\mathrm{2sinx}}\:=_{\mathrm{sinx}=\mathrm{t}} \:\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{2t}} \\ $$$$=−\int\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{\mathrm{4t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2t}−\mathrm{1}\mid\:+\mathrm{c}_{\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}\mid+\mathrm{c}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 28/Oct/20

sorry I =−(3/8)ln∣2sinx−1∣+((sin^2 x)/4)+((sinx)/4) +C

$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{I}\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2sinx}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{C} \\ $$

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