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Question Number 119979 by huotpat last updated on 28/Oct/20

Commented by huotpat last updated on 28/Oct/20

N when n→+∞ is not x→+∞

$${N}\:{when}\:{n}\rightarrow+\infty\:{is}\:{not}\:{x}\rightarrow+\infty \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Oct/20

let f(x) =(((x+1)^(n+1) −(x+1))/x^3 )−(n/x^2 )−((n(n+1))/(2x)) ⇒ f(x)=(((x+1)^(n+1) −(x+1)−nx−2^(−1) n(n+1)x^2 )/x^3 ) we knowthat (1+x)^α =1+(α/(1!))x +((α(α−1))/(2!))x^2 +((α(α−1)(α−2))/(3!)) x^3 +o(x^4 )⇒ (1+x)^(n+1) =1+(n+1)x+(((n+1)n)/2)x^2 +(((n+1)n(n−1))/6) x^3 +o(x^4 ) ⇒ (x+1)^(n+1) −(x+1)−nx−2^(−1) n(n+1)x^2 ∼ 1+(n+1)x +((n(n+1))/2)x^2 +(((n−1)n(n+1))/6) x^3 −x−1−nx−(1/2)n(n+1)x^2 =((n(n−1)(n+1))/6) x^3 ⇒f(x)∼((n(n−1)(n+1))/6) ⇒ lim_(x→0) f(x) =((n(n−1)(n+1))/6)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{nx}−\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{we}\:\mathrm{knowthat} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\alpha} \:=\mathrm{1}+\frac{\alpha}{\mathrm{1}!}\mathrm{x}\:+\frac{\alpha\left(\alpha−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}!}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\alpha\left(\alpha−\mathrm{1}\right)\left(\alpha−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{3}!}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{nx}−\mathrm{2}^{−\mathrm{1}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sim \\ $$$$\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{nx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 28/Oct/20

lim_(n→+∞) n[Π_p ^n (Σ_(k=1) ^p (1/k)−(1/(k+1)))] lim_(n→+∞) n[Π_p ^n (1−(1/(p+1)))] lim_(n→+∞) n[Π_p ^n (p/(p+1))]=n.(1/2).(2/3).(3/4)......(1/n).(n/(n+1)) lim_(n→∞) =(n/(1+n))=(1/(1+(1/n)))=1

$$\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left[\underset{{p}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{p}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\right)\right] \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left[\underset{{p}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{p}+\mathrm{1}}\right)\right] \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}{n}\left[\underset{{p}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{{p}}{{p}+\mathrm{1}}\right]={n}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}.\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}......\frac{\mathrm{1}}{{n}}.\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}=\frac{{n}}{\mathrm{1}+{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Oct/20

let g(x) =((x+2x^2 +3x^3 +...+nx^n )/(x−1))−((n(n+1))/(2(x−1))) (x→1) we have 1+x +x^2 +...+x^n =((x^(n+1) −1)/(x−1)) (x≠1) by d erivation we get 1+2x+...+nx^(n−1) =(dx/dx)(((x^(n+1) −1)/(x−1))) =((nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)/((x−1)^2 )) ⇒ x +2x^2 +3x^3 +....+nx^n =((nx^(n+2) −(n+1)x^(n+1) +x)/((x−1)^2 )) ⇒ g(x)=((nx^(n+2) −(n+1)x^(n+1) +x)/((x−1)^2 ))−((n(n+1))/(2(x−1))) ⇒ g(x)=((2nx^(n+2) −2(n+1)x^(n+1) +2x)/(2(x−1)^2 ))−((n(n+1)(x−1))/(2(x−1)^2 )) =((2nx^(n+2) −2(n+1)x^(n+1) +2x−n(n+1)(x−1))/(2(x−1)^2 )) let u(x)=2nx^(n+2) −2(n+1)x^(n+1) +2x−n(n+1)(x−1) v(x)=2(x−1)^2 ⇒ u^′ (x)=2n(n+2)x^(n+1) −2(n+1)^2 x^n +2−n(n+1) u^((2)) (x) =2n(n+2)(n+1)x^n −2n(n+1)^2 x^(n−1) ⇒ u^((2)) (1) =2n(n+2)(n+1)−2n(n+1)^2 =2n(n+1){n+2−n−1) =2n(n+1) v(x)=2(x−1)^2 ⇒v^′ (x)=4(x−1) ⇒v^((2)) (x)=4 ⇒ lim_(x→1) g(x) =lim_(x→1) ((u^((2)) (x))/(v^((2)) (x))) =((2n(n+1))/4) =((n(n+1))/2)

$$\mathrm{let}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +...+\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:\:\left(\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}+\mathrm{x}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +...+\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\:\mathrm{by}\:\mathrm{d}\:\mathrm{erivation}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2x}+...+\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}\:+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +....+\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2x}−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2x}−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{2}−\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{u}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left\{\mathrm{n}+\mathrm{2}−\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{v}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{v}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{v}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)}\:=\frac{\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$

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