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Question Number 120037 by floor(10²Eta[1]) last updated on 28/Oct/20

Suppose that R>0, x_0 >0, and x_(n+1) =(1/2)((R/x_n )+x_n ), n≥0 Prove: For n≥1, x_n >x_(n+1) >(√R) and x_n −(√R)≤(1/2^n ) (((x_0 −(√R))^2 )/x_0 )

$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{R}>\mathrm{0},\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} >\mathrm{0},\:\mathrm{and} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}} }+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right),\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{Prove}:\:\mathrm{For}\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1},\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} >\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\sqrt{\mathrm{R}}\:\mathrm{and} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\:\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}_{\mathrm{0}} } \\ $$

Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 29/Oct/20

2x_(n+1) x_n =R+x_n ^2 2x_(n+1) x_n −2(√R)x_n =(x_n −(√R))^2 ≥0 2x_(n+1) x_n −2(√R)x_n ≥0 x_(n+1) ≥(√R) ⇒x_(n+1) >(√R) x_n ^2 −2x_(n+1) x_n +R=0 x_n =x_(n+1) ±(√(x_(n+1) ^2 −R))>(√R) suppose that x_n <x_(n+1) x_n <(1/2)((R/x_n )+x_n ) 2x_n ^2 <R+x_n ^2 ⇒x_n <(√R) (imp.) ⇒x_n >x_(n+1) >(√R) 2x_(n+1) x_n −2(√R)x_n =(x_n −(√R))^2 2(x_n −(√R))>2(x_(n+1) −(√R))=(((x_n −(√R))^2 )/x_n ) x_n −(√R)>(((x_n −(√R))^2 )/(2x_n ))<(((x_0 −(√R))^2 )/(2x_0 )) (i):x_n −(√R)≥(((x_0 −(√R))^2 )/(2x_0 )) x_0 −(√R)>x_n −(√R)≥(((x_0 −(√R))^2 )/(2x_0 )) 2x_0 ^2 −2(√R)x_0 >x_0 ^2 −2(√R)x_0 +R x_0 ^2 >R⇒x_0 >(√R) (ii): x_n −(√R)≤(((x_0 −(√R))^2 )/(2x_0 )) x_0 −(√R)<(((x_0 −(√R))^2 )/(2x_0 )) x_0 <−(√R) ⇒x_n −(√R)≥(((x_0 −(√R))^2 )/(2x_0 ))≥(((x_0 −(√R))^2 )/(2^n x_0 ))

$$\mathrm{2x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} =\mathrm{R}+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{2x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{R}}\mathrm{x}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{2x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{R}}\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \geqslant\sqrt{\mathrm{R}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\sqrt{\mathrm{R}} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} +\mathrm{R}=\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} =\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \pm\sqrt{\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}}>\sqrt{\mathrm{R}} \\ $$ $$\mathrm{suppose}\:\mathrm{that}\:\mathrm{x}_{\mathrm{n}} <\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} <\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}} }+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$ $$\mathrm{2x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} <\mathrm{R}+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} <\sqrt{\mathrm{R}}\:\left(\mathrm{imp}.\right) \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} >\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} >\sqrt{\mathrm{R}} \\ $$ $$\mathrm{2x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{R}}\mathrm{x}_{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{2}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)>\mathrm{2}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}_{\mathrm{n}} } \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}>\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{n}} }<\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} } \\ $$ $$\left(\mathrm{i}\right):\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\geqslant\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} } \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}>\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\geqslant\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} } \\ $$ $$\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{R}}\mathrm{x}_{\mathrm{0}} >\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{R}}\mathrm{x}_{\mathrm{0}} +\mathrm{R} \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} >\mathrm{R}\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{0}} >\sqrt{\mathrm{R}} \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\leqslant\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} } \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}<\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} } \\ $$ $$\mathrm{x}_{\mathrm{0}} <−\sqrt{\mathrm{R}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{n}} −\sqrt{\mathrm{R}}\geqslant\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} }\geqslant\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} −\sqrt{\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{0}} } \\ $$

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