Question Number 12028 by tawa last updated on 09/Apr/17
$$\mathrm{Express}\::\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{33}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{surd}\:\mathrm{form}. \\ $$
Answered by sandy_suhendra last updated on 10/Apr/17
![let A=18° 5A=90° 3A=90°−2A cos 3A=cos(90°−2A) 4cos^3 A−3cosA=sin2A 4cos^3 A−3cosA=2sinAcosA 4cos^2 A−3=2sinA 4−4sin^2 A−3=2sinA 4sin^2 A+2sinA−1=0 sinA=((−2+(√(4+4.4(−1))))/(2.4)) sin 18° =((−2+2(√5))/8) = (((√5)−1)/4) cos 18°=(√(1−sin^2 18°)) =(√(1−((((√5)−1)/4))^2 )) =(√(((10+2(√5))/(16)) ))= (1/4)(√(10+2(√5))) sin 15°=(√((1−cos30°)/2)) =(√(((1−(1/2)(√3))/2) )) =(√(((4−2(√3))/8) ))= (√((((√3)−1)^2 )/8)) =(((√3)−1)/(2(√2))) cos 15°=(√((1+cos30°)/2))=(((√3)+1)/(2(√2))) sin 33° =sin(18°+15°) =sin18°.cos15°+cos18°.sin15° =(((√5)−1)/4)×(((√3)+1)/(2(√2))) + (1/4)(√(10+2(√5))) ×(((√3)−1)/(2(√2))) =(1/(8(√2)))[((√5)−1)((√3)+1) + (√(10+2(√5))) . ((√3)−1)]](Q12058.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}=\mathrm{18}° \\ $$$$\mathrm{5A}=\mathrm{90}° \\ $$$$\mathrm{3A}=\mathrm{90}°−\mathrm{2A} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{3A}=\mathrm{cos}\left(\mathrm{90}°−\mathrm{2A}\right) \\ $$$$\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{A}−\mathrm{3cosA}=\mathrm{sin2A} \\ $$$$\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{A}−\mathrm{3cosA}=\mathrm{2sinAcosA} \\ $$$$\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}−\mathrm{3}=\mathrm{2sinA} \\ $$$$\mathrm{4}−\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}−\mathrm{3}=\mathrm{2sinA} \\ $$$$\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}+\mathrm{2sinA}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{sinA}=\frac{−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{4}.\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{2}.\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{18}°\:=\frac{−\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}\:=\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{18}°=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{18}°} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\frac{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{16}}\:}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{15}°=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos30}°}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sqrt{\frac{\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{8}}\:}=\:\sqrt{\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{15}°=\sqrt{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos30}°}{\mathrm{2}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{33}° \\ $$$$=\mathrm{sin}\left(\mathrm{18}°+\mathrm{15}°\right) \\ $$$$=\mathrm{sin18}°.\mathrm{cos15}°+\mathrm{cos18}°.\mathrm{sin15}° \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\:×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\:\:\: \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)\:+\:\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\:.\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)\right]\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by tawa last updated on 10/Apr/17
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$