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Question Number 120427 by bramlexs22 last updated on 31/Oct/20

lim_(x→0) (((√(cos x+(√(2sin x+x)))) −1)/(sin x))

$$\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$

Answered by john santu last updated on 31/Oct/20

lim_(x→0) (((√(cos x+(√(2sin x+x))))−1)/(sin x)) = lim_(x→0) (1/( (√(cos x+(√(2sin x+x))))+1)) .lim_(x→0) ((cos x−1+(√(2sin x+x)))/(sin x)) (1/2).lim_(x→0) ((−2sin^2 (x/2)+(√(2sin x+x)))/(2sin (x/2)cos (x/2))) (1/2).[lim_(x→0) −tan ((x/2))+lim_(x→0) (√((2sin x+x)/(sin^2 x))) ] = (1/2). [ 0 +lim_(x→0) (√(3/x)) ] = ∞

$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}−\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:{x}}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:{x}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}+\mathrm{1}}\:.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left({x}/\mathrm{2}\right)+\sqrt{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}}{\mathrm{2sin}\:\left({x}/\mathrm{2}\right)\mathrm{cos}\:\left({x}/\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\left[\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:−\mathrm{tan}\:\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{2sin}\:{x}+{x}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}}}\:\right] \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\:\left[\:\mathrm{0}\:+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\frac{\mathrm{3}}{{x}}}\:\right]\:=\:\infty\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Oct/20

let f(x)=(((√(cosx+(√(2sinx+x))))−1)/(sinx)) we have cosx∼1−(x^2 /2) and 2sin(x)+x ∼2(x−(x^3 /6))+x =3x−(x^3 /3) ⇒ (√(2sinx+x))∼(√(3x−(x^3 /3)))=(√(3x))(√(1−(x^2 /9)))∼(√(3x))(1−(x^2 /(18))) ⇒ cosx+(√(2sinx+x))−1∼1−(x^2 /2) +(√(3x))(1−(x^2 /(18)))−1 ∼−(x^2 /2)+(√(3x))−((x^2 (√(3x)))/(18)) ⇒f(x)∼−(x/2)+((√3)/(√x))−x(√x)(√3) ⇒ lim_(x→0^+ ) f(x)=+∞

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{cosx}+\sqrt{\mathrm{2sinx}+\mathrm{x}}}−\mathrm{1}}{\mathrm{sinx}}\:\:\mathrm{we}\:\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{cosx}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{2sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}\:\sim\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{x}\:=\mathrm{3x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2sinx}+\mathrm{x}}\sim\sqrt{\mathrm{3x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}}=\sqrt{\mathrm{3x}}\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{9}}}\sim\sqrt{\mathrm{3x}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cosx}+\sqrt{\mathrm{2sinx}+\mathrm{x}}−\mathrm{1}\sim\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{18}}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sim−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\sqrt{\mathrm{3x}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{3x}}}{\mathrm{18}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\sqrt{\mathrm{x}}}−\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=+\infty \\ $$

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