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Question Number 120467 by help last updated on 31/Oct/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Oct/20

tan(θ+(π/3)) =((tanθ +tan(π/3))/(1−tanθ tan((π/3)))) =((tanθ +(√3))/(1−(√3)tanθ)) tan(θ+((2π)/3)) =tan(θ+π−(π/3)) =((tanθ−(√3))/(1+(√3)tanθ)) e ⇒tanθ +((tanθ +(√3))/(1−(√3)tanθ)) +((tanθ−(√3))/(1+(√3)tant)) =3 let tanθ =x so e ⇒ x +((x+(√3))/(1−(√3)x))+((x−(√3))/(1+(√3)x)) =3 ⇒x +(((x+(√3))(1+(√3)x)+(x−(√3))(1−(√3)x))/(1−3x^2 ))=3 ⇒x +((x+(√3)x^2 +(√3)+3x+x−(√3)x^2 −(√3)+3x)/(1−3x^2 ))=3 ⇒ x+((8x)/(1−3x^2 ))=3 ⇒x−3x^3 +8x =3−9x^2 ⇒ 9x−3x^3 −3+9x^2 =0 ⇒3x−x^3 −1+3x^2 =0 ⇒ −x^3 +3x^2 +3x−1 =0 ⇒x^3 −3x^2 −3x+1=0 −1 is roots ⇒x^3 −3x^2 −3x+1 =(x+1)(x^2 +ax +b) b=1 ⇒(x+1)(x^2 +ax+1) =x^3 −3x^2 −3x+1 ⇒ x^3 +ax^2 +x+x^2 +ax +1 =x^3 −3x^2 −3x+1 ⇒ (a+1)x^2 +(a+1)x+1 =−3x^2 −3x+1 ⇒a+1=−3 ⇒a=−4 ⇒ x^3 −3x^2 −3x+1 =0 ⇒(x+1)(x^2 −4x+1)=0 ⇒x=−1 or x^2 −4x+1=0 tanx =−1 ⇒tanx =tan(−(π/4)) ⇒x =−(π/4)+kπ (k∈Z) x^2 −4x+1 =0 →Δ^′ =4−1=3 ⇒x_1 =2+(√3) and x_2 =2−(√3) tanx =2+(√3) ⇒x =arctan(2+(√3))+Kπ tanx =2−(√3) ⇒x =arctan(2−(√3)) +kπ

$$\mathrm{tan}\left(\theta+\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\:=\frac{\mathrm{tan}\theta\:+\mathrm{tan}\frac{\pi}{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\theta\:\mathrm{tan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)}\:=\frac{\mathrm{tan}\theta\:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\theta} \\ $$$$\mathrm{tan}\left(\theta+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\:=\mathrm{tan}\left(\theta+\pi−\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\:=\frac{\mathrm{tan}\theta−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\theta} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{tan}\theta\:+\frac{\mathrm{tan}\theta\:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tan}\theta}\:+\frac{\mathrm{tan}\theta−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{tant}}\:=\mathrm{3}\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{tan}\theta\:=\mathrm{x}\:\mathrm{so}\:\mathrm{e}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3x}+\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}+\frac{\mathrm{8x}}{\mathrm{1}−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8x}\:=\mathrm{3}−\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{9x}−\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}+\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{3x}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\:−\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ax}\:+\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ax}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{1}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}\:\mathrm{or} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{tanx}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{tanx}\:=\mathrm{tan}\left(−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=−\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{k}\pi\:\:\:\left(\mathrm{k}\in\mathrm{Z}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{4}−\mathrm{1}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tanx}\:=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{K}\pi \\ $$$$\mathrm{tanx}\:=\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:+\mathrm{k}\pi \\ $$

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