Question Number 120475 by Jamshidbek2311 last updated on 31/Oct/20
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Oct/20
![if we consider congruence modulo 2 e⇒x^−^2 +x^− =0^− ⇒ x^− (x^− +1)=0^− ⇒x^− =0^− or x^− =−1 (Z/2Z is a corps) x^− =0 ⇒x=2k e⇒(2k)^2 +2k−2 =6^y ⇒4k^2 +2k−2=6^y ⇒ e^(yln6) =4k^2 +2k−2 ⇒yln6 =ln(4k^2 +2k−2) ⇒y =[((ln(4k^2 +2k−2))/6)] we chose k / 4k^2 +2k−2>0 x^− =−1 ⇒x=2k−1 so e ⇒(2k−1)^2 +2k−1−2=6^y ⇒ 4k^2 −4k+2k−2 =6^y ⇒4k^2 −2k−2 =6^y ⇒ e^(yln6) =4k^2 −2k−2 ⇒yln6 =ln(4k^2 −2k−2) ⇒y =[((ln(4k^2 −2k−2))/(ln6))] we chose k /4k^2 −2k−2>0 (k from Z)](Q120488.png)
$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{consider}\:\mathrm{congruence}\:\mathrm{modulo}\:\mathrm{2}\:\mathrm{e}\Rightarrow\overset{−^{\mathrm{2}} } {\mathrm{x}}+\overset{−} {\mathrm{x}}=\overset{−} {\mathrm{0}}\:\Rightarrow \\ $$$$\overset{−} {\mathrm{x}}\left(\overset{−} {\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)=\overset{−} {\mathrm{0}}\:\Rightarrow\overset{−} {\mathrm{x}}=\overset{−} {\mathrm{0}}\:\mathrm{or}\:\overset{−} {\mathrm{x}}=−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{Z}/\mathrm{2Z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{corps}\right) \\ $$$$\overset{−} {\mathrm{x}}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2k}\:\:\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}−\mathrm{2}\:=\mathrm{6}^{\mathrm{y}} \:\Rightarrow\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2k}−\mathrm{2}=\mathrm{6}^{\mathrm{y}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{yln6}} \:=\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2k}−\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{yln6}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}−\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\left[\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{6}}\right] \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{chose}\:\mathrm{k}\:/\:\:\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}−\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$$$\overset{−} {\mathrm{x}}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{2k}−\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}−\mathrm{1}−\mathrm{2}=\mathrm{6}^{\mathrm{y}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4k}+\mathrm{2k}−\mathrm{2}\:=\mathrm{6}^{\mathrm{y}} \:\Rightarrow\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}−\mathrm{2}\:=\mathrm{6}^{\mathrm{y}} \Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{yln6}} \:=\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}−\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{yln6}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}−\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\left[\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln6}}\right] \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{chose}\:\mathrm{k}\:/\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}−\mathrm{2}>\mathrm{0}\:\:\:\left(\mathrm{k}\:\mathrm{from}\:\mathrm{Z}\right) \\ $$