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Question Number 121014 by mathocean1 last updated on 04/Nov/20

show by recurrence that ∀ n≥1 , a^n −b^n =(a−b)(a^(n−1) +a^(n−2) ∗b+...+ab^(n−2) +b^(n−1) )

$$\mathrm{show}\:\mathrm{by}\:\mathrm{recurrence}\:\mathrm{that} \\ $$$$\forall\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}\:, \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \ast\mathrm{b}+...+\mathrm{ab}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Nov/20

let prove by recurence that x^n −1 =(x−1)(x^(n−1) +x^(n−2) +...+x +1) for x real n natural >0 n=1 we get x^1 −1 =(x−1)(1) (relation true) let suppose P_n true x^(n+1) −1 =x x^n −1 =x(x^n −1+1)−1 =x(x^n −1)+x−1 =x(x−1)(x^(n−1) +x^(n−2) +...+x+1)+x−1 =(x−1)(x^n +x^(n−1) +...+x^2 +x+1) so P_(n+1) is true for x =(a/b) and b≠0 we get ((a/b))^n −1 =((a/b)−1)((a^(n−1) /b^(n−1) )+(a^(n−2) /b^(n−2) )+.....+(a/b)+1) ⇒ ((a^n −b^n )/b^n )=(((a−b)/b))((a^(n−1) /b^(n−1) )+(a^(n−2) /b^(n−2) )+....+(a/b)+1) ⇒ a^n −b^n =(a−b)b^(n−1) ((a^(n−1) /b^(n−1) )+(a^(n−2) /b^(n−2) )+....+(a/b)+1) ⇒ a^n −b^n =(a−b)(a^(n−1) +a^(n−2) b+.....ab^(n−2) +b^(n−1) )

$$\mathrm{let}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{recurence}\:\mathrm{that}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +...+\mathrm{x}\:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\mathrm{real}\:\mathrm{n}\:\mathrm{natural}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{x}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)\:\:\left(\mathrm{relation}\:\mathrm{true}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{P}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{x}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +...+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +...+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{so}\:\:\mathrm{P}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{true} \\ $$$$\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\neq\mathrm{0}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\:=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }+.....+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}} }=\left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }+....+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \:=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }+....+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{b}^{\mathrm{n}} \:=\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{b}+.....\mathrm{ab}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$

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