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Question Number 121014 by mathocean1 last updated on 04/Nov/20

$$\mathrm{show}\mathrm{by}\mathrm{recurrence}\mathrm{that}$$$$\mathrm{\forall }\mathrm{n}⩾1,$$$${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})({\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-2}\ast \mathrm{b}+...+{\mathrm{ab}}^{\mathrm{n}-2}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-1})$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Nov/20

$$\mathrm{let}\mathrm{prove}\mathrm{by}\mathrm{recurence}\mathrm{that}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1=(\mathrm{x}-1)({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}+...+\mathrm{x}+1)$$$$\mathrm{for}\mathrm{x}\mathrm{real}\mathrm{n}\mathrm{natural}>0$$$$\mathrm{n}=1\mathrm{we}\mathrm{get}{\mathrm{x}}^1-1=(\mathrm{x}-1)\left(1\right)\left(\mathrm{relation}\mathrm{true}\right)$$$$\mathrm{let}\mathrm{suppose}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\mathrm{true}$$$${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}-1=\mathrm{x}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1=\mathrm{x}({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1+1)-1$$$$=\mathrm{x}({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-1)+\mathrm{x}-1=\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}+...+\mathrm{x}+1)+\mathrm{x}-1$$$$=(\mathrm{x}-1)({\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+...+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1)\mathrm{so}{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}+1}\mathrm{is}\mathrm{true}$$$$\mathrm{for}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{and}\mathrm{b}\ne 0\mathrm{we}\mathrm{get}$$$${\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)}^{\mathrm{n}}-1=(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}-1)(\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-1}}+\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-2}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-2}}+.....+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+1)\Rightarrow$$$$\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}}=\left(\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)(\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-1}}+\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-2}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-2}}+....+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+1)\Rightarrow$$$${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}=(\mathrm{a}-\mathrm{b}){\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-1}(\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-1}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-1}}+\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-2}}{{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-2}}+....+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+1)\Rightarrow$$$${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})({\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-2}\mathrm{b}+.....{\mathrm{ab}}^{\mathrm{n}-2}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{n}-1})$$

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