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Question Number 121378 by liberty last updated on 07/Nov/20

cos x (dy/dx) + y.sin x = 2cos^3 x.sin x

$$\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:+\:\mathrm{y}.\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}.\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\: \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 07/Nov/20

cosx∙(dy/dx)+y∙sinx=2cos^3 x∙sinx secx(dy/dx)+ysecxtanx=2cosxsinx ((d(ysecx))/dx)=sin2x ⇒ d(ysecx)=sin2xdx ysecx=∫sin2xdx=−((cos2x)/2)+C

$$\mathrm{cosx}\centerdot\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{y}\centerdot\mathrm{sinx}=\mathrm{2cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}\centerdot\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{secx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{ysecxtanx}=\mathrm{2cosxsinx} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{ysecx}\right)}{\mathrm{dx}}=\mathrm{sin2x}\:\Rightarrow\:\mathrm{d}\left(\mathrm{ysecx}\right)=\mathrm{sin2xdx} \\ $$$$\mathrm{ysecx}=\int\mathrm{sin2xdx}=−\frac{\mathrm{cos2x}}{\mathrm{2}}+\mathcal{C} \\ $$

Answered by TANMAY PANACEA last updated on 07/Nov/20

(dy/dx)+(tanx)y=2cos^2 xsinx I.F e^(∫tanx dx) =e^(lnsecx) =secx secx(dy/dx)+(secxtanx)y=secx×2cos^2 xsinx secxdy+(secxtanx)ydx=sin2xdx d(ysecx)=−d(((cos2x)/2))+dC intregating ysecx=((−cos2x)/2)+C

$$\frac{{dy}}{{dx}}+\left({tanx}\right){y}=\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} {xsinx} \\ $$$${I}.{F}\:{e}^{\int{tanx}\:{dx}} ={e}^{{lnsecx}} ={secx} \\ $$$${secx}\frac{{dy}}{{dx}}+\left({secxtanx}\right){y}={secx}×\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} {xsinx} \\ $$$${secxdy}+\left({secxtanx}\right){ydx}={sin}\mathrm{2}{xdx} \\ $$$${d}\left({ysecx}\right)=−{d}\left(\frac{{cos}\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}\right)+{dC} \\ $$$${intregating} \\ $$$${ysecx}=\frac{−{cos}\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}+{C} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 07/Nov/20

secx(dy/dx)+ysecxtanx=2cosxsinx ((d(ysecx))/dx)=2sinxcosx ysecx=∫2sinxcosxdx =sin^2 x+K ⇒y=sin^2 xcosx+Kcosx

$$\mathrm{secx}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{ysecxtanx}=\mathrm{2cosxsinx} \\ $$$$\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{ysecx}\right)}{\mathrm{dx}}=\mathrm{2sinxcosx} \\ $$$$\mathrm{ysecx}=\int\mathrm{2sinxcosxdx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathcal{K} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{xcosx}+\mathcal{K}\mathrm{cosx} \\ $$

Answered by john santu last updated on 07/Nov/20

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 07/Nov/20

(dy/dx)+ytanx=2cos^2 xsinx I.F=e^(∫tanx) =e^(∫log(secx)) =secx y.secx=∫2cos^2 x.sinx.secx y.secx=∫sin2x y=−((cos2xcosx)/2)+Ccosx

$$\frac{{dy}}{{dx}}+{ytanx}=\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} {xsinx} \\ $$$${I}.{F}={e}^{\int{tanx}} ={e}^{\int{log}\left({secx}\right)} ={secx} \\ $$$${y}.{secx}=\int\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} {x}.{sinx}.{secx} \\ $$$${y}.{secx}=\int{sin}\mathrm{2}{x} \\ $$$${y}=−\frac{{cos}\mathrm{2}{xcosx}}{\mathrm{2}}+{Ccosx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Nov/20

cosx y^′ +sinx y =2cos^3 x sinx h→ cosxy^′ +sinx y =0 ⇒cosx y^′ =−sinx y ⇒(y^′ /y)=−((sinx)/(cosx)) ⇒ ln∣y∣ =ln∣cosx∣ +c ⇒y =k ∣cosx∣ let determine solution on w={x /cosx>0} ⇒y=kcosx mvc method y^′ =k^′ cosx−ksinx e ⇒k^′ cos^2 x−ksinx cosx +k cosx sinx =2cos^3 x sinx ⇒ k^′ =2cosx sinx ⇒k^′ =sin(2x) ⇒k =−(1/2)cos(2x) +λ ⇒ y(x)=(−(1/2)cos(2x)+λ)cosx =−(1/2)cosx cos(2x)+λcosx

$$\mathrm{cosx}\:\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{sinx}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{2cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:\mathrm{sinx} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\:\mathrm{cosxy}^{'} \:+\mathrm{sinx}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{cosx}\:\mathrm{y}^{'} \:=−\mathrm{sinx}\:\mathrm{y}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{y}^{'} }{\mathrm{y}}=−\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\mid\mathrm{y}\mid\:=\mathrm{ln}\mid\mathrm{cosx}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=\mathrm{k}\:\mid\mathrm{cosx}\mid\:\mathrm{let}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{w}=\left\{\mathrm{x}\:/\mathrm{cosx}>\mathrm{0}\right\}\:\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{kcosx}\:\:\:\mathrm{mvc}\:\:\mathrm{method} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} =\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{cosx}−\mathrm{ksinx} \\ $$$$\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{ksinx}\:\mathrm{cosx}\:\:+\mathrm{k}\:\mathrm{cosx}\:\mathrm{sinx}\:=\mathrm{2cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:\mathrm{sinx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{k}^{'} \:=\mathrm{2cosx}\:\mathrm{sinx}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{k}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\lambda\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\lambda\right)\mathrm{cosx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cosx}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\lambda\mathrm{cosx} \\ $$

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