Question Number 121859 by Bird last updated on 12/Nov/20
$${find}\:\int\:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}+\mathrm{1}}−\left({x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}−\mathrm{1}}} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 12/Nov/20
$${I}=\int\frac{\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}−\sqrt{{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:=\int\:\frac{\left(\sqrt{{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\right){dx}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\:\:\mathrm{2}{I}\:=\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}+\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:{I}\:=\sqrt{{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}+{c} \\ $$$$ \\ $$
Answered by liberty last updated on 12/Nov/20
![(1/((x−1)(√(x+1)) −(x+1)(√(x−1)))) . (((x−1)(√(x+1))+(x+1)(√(x−1)))/((x−1)(√(x+1))+(x+1)(√(x−1)))) = (((x−1)(√(x+1))+(x+1)(√(x−1)))/((x−1)^2 (x+1)+(x^2 −1)(√(x^2 −1))−(x^2 −1)(√(x^2 −1))−(x+1)^2 (x−1))) = (((x−1)(√(x+1))+(x+1)(√(x−1)))/((x−1)^2 (x+1)−(x+1)^2 (x−1))) = (((x−1)(√(x+1))+(x+1)(√(x−1)))/((x^2 −1){x−1−x−1})) = (((x−1)(√(x+1))+(x+1)(√(x−1)))/(−2(x^2 −1))) = −(1/2) [ ((√(x+1))/(x+1)) +((√(x−1))/(x−1)) ] = −(1/2) [ (1/( (√(x+1))))+(1/( (√(x−1)))) ] then I = −(1/2)∫ [ (x+1)^(−(1/2)) +(x−1)^(−(1/2)) ] dx I = −(1/2) [ 2(√(x+1)) +2(√(x−1)) ] + c I = −(√(x+1)) −(√(x−1)) + c. ▲](Q121874.png)
$$\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:.\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:= \\ $$$$\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left\{\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{x}−\mathrm{1}\right\}}\:=\: \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left[\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\right]\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:\right] \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{I}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left[\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\right]\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\left[\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\right]\:+\:\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{I}\:=\:−\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\:\mathrm{c}.\:\blacktriangle \\ $$