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Question Number 122002 by liberty last updated on 13/Nov/20

Solve the system of equations { ((x^2 +y^2 +((2xy)/(x+y)) = 1)),(((√(x+y)) = x^2 −y)) :} in real numbers x,y.

$$\:\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equations}\: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{2xy}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}\:=\:\mathrm{1}}\\{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{y}}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}}\end{cases}\:\mathrm{in}\:\mathrm{real}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{x},\mathrm{y}. \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 13/Nov/20

(√(x+y))=x^2 −y squaring & transforming y^2 −(2x^2 +1)y+(x^4 −x)=0 ⇒ (a) y=x^2 −x∨(b) y=x^2 +x+1 [we have some limitations but let′s just go on and see what will happen] inserting in (1) we get (a) x^6 −2x^5 +2x^4 +2x^3 −3x^2 =0 (b) x^6 +4x^5 +9x^4 +14x^3 +10x^2 +4x=0 ⇒ (a) x^2 (x−1)(x+1)(x^2 −2x+3)=0 (b) x(x+2)(x^4 +2x^3 +5x^2 +4x+2)=0 ⇒ (a) x=−1∨x=0∨x=1 ⇒ y=2 ^ ^ ∨y=0∨y=0 (b) x=−2∨x=0 ⇒ y=3 ∨y=1 testing all pairs we get (x∣y)=(1∣0)∨(−2∣3)

$$\sqrt{{x}+{y}}={x}^{\mathrm{2}} −{y} \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){y}+\left({x}^{\mathrm{4}} −{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{a}\right)\:{y}={x}^{\mathrm{2}} −{x}\vee\left(\mathrm{b}\right)\:{y}={x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\left[\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{some}\:\mathrm{limitations}\:\mathrm{but}\:\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{just}\:\mathrm{go}\:\mathrm{on}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{and}\:\mathrm{see}\:\mathrm{what}\:\mathrm{will}\:\mathrm{happen}\right] \\ $$$$\mathrm{inserting}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:{x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{9}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{14}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:{x}\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:{x}=−\mathrm{1}\vee{x}=\mathrm{0}\vee{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:{y}=\mathrm{2}\:\:\:^{\:} \:^{\:} \vee{y}=\mathrm{0}\vee{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:{x}=−\mathrm{2}\vee{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:{y}=\mathrm{3}\:\:\:\:\:\vee{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\mathrm{all}\:\mathrm{pairs}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left({x}\mid{y}\right)=\left(\mathrm{1}\mid\mathrm{0}\right)\vee\left(−\mathrm{2}\mid\mathrm{3}\right) \\ $$

Commented by liberty last updated on 13/Nov/20

thank you sir

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

Answered by liberty last updated on 13/Nov/20

my way multiply the first eq by x+y give (x^2 +y^2 )(x+y)+2xy=x+y adding x^2 +y^2 to both sides of this eq , we are driven by standard manipulation to nice factorization : (x^2 +y^2 )(x+y)+(x+y)^2 = (x^2 +y^2 )+(x+y) (x^2 +y^2 )(x+y−1)+(x+y)(x+y−1)=0 (x^2 +y^2 +x+y)(x+y−1)=0 The first factor cannot be zero because x+y >0 so x+y−1 must be zero. Inserting y=1−x into second eq of the system we find the two solutions (x,y): (1,0) and (−2,3).▲

$$\mathrm{my}\:\mathrm{way}\: \\ $$$$\mathrm{multiply}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{eq}\:\mathrm{by}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}\:\mathrm{give} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{2xy}=\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{adding}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{to}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{eq}\:,\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\: \\ $$$$\mathrm{driven}\:\mathrm{by}\:\mathrm{standard}\:\mathrm{manipulation}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{nice}\:\mathrm{factorization}\:: \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{first}\:\mathrm{factor}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be}\:\mathrm{zero}\:\mathrm{because}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}\:>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{1}\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{zero}.\:\mathrm{Inserting}\: \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{into}\:\mathrm{second}\:\mathrm{eq}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{we}\: \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two}\:\mathrm{solutions}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right):\:\left(\mathrm{1},\mathrm{0}\right)\:\mathrm{and}\:\left(−\mathrm{2},\mathrm{3}\right).\blacktriangle \\ $$

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